Verilen soruda, doğruluk değeri her zaman 1 olmayabilecek ifadeyi bulmamız istenmektedir. Yani, bir totoloji olmayan ifadeyi arıyoruz. Her bir seçeneği adım adım inceleyelim:

• A) $(p \lor q)' \iff (q' \land p')$

  De Morgan kuralına göre $(p \lor q)' \equiv p' \land q'$. Bu ifade, $(p' \land q') \iff (q' \land p')$ şekline dönüşür. İki taraf da aynı olduğu için bu ifade her zaman doğrudur (bir totolojidir). Doğruluk değeri daima 1'dir.

• B) $q' \implies [[(p \implies q) \land p]']$

  Önce içteki ifadeyi basitleştirelim: $(p \implies q) \land p$.

  Biliyoruz ki $p \implies q \equiv p' \lor q$.

  Bu durumda, $(p' \lor q) \land p \equiv (p' \land p) \lor (q \land p) \equiv 0 \lor (q \land p) \equiv q \land p$.

  Şimdi ifade $q' \implies [(q \land p)']$ halini alır. De Morgan kuralı ile $(q \land p)' \equiv q' \lor p'$.

  İfade $q' \implies (q' \lor p')$ olur. $A \implies B \equiv A' \lor B$ kuralını uygulayalım:

  $(q')' \lor (q' \lor p') \equiv q \lor q' \lor p'$.

  Biliyoruz ki $q \lor q' \equiv 1$. Dolayısıyla ifade $1 \lor p'$ olur. $1 \lor p'$ her zaman 1'dir (bir totolojidir).

• C) $(p \implies q') \lor (q \land p)$

  Biliyoruz ki $p \implies q' \equiv p' \lor q'$.

  İfade $(p' \lor q') \lor (q \land p)$ olur.

  Durumları inceleyelim:

  • Eğer $q=0$ ise, $q'=1$. İfade $(p' \lor 1) \lor (0 \land p) \equiv 1 \lor 0 \equiv 1$.
  • Eğer $q=1$ ise, $q'=0$. İfade $(p' \lor 0) \lor (1 \land p) \equiv p' \lor p \equiv 1$.

  Her iki durumda da ifade 1'dir (bir totolojidir).

• D) $(q \implies p) \land (p \implies q)$

  Bu ifade, $p \iff q$ (ancak ve ancak) önermesine denktir. $p \iff q$ önermesi, $p$ ve $q$'nun doğruluk değerleri aynı olduğunda (ikisi de 0 veya ikisi de 1) doğru (1) olur. Ancak $p$ ve $q$'nun doğruluk değerleri farklı olduğunda (örneğin $p=1, q=0$ veya $p=0, q=1$) yanlış (0) olur.

  Örneğin, $p=1$ ve $q=0$ alırsak:

  $(0 \implies 1) \land (1 \implies 0) \equiv 1 \land 0 \equiv 0$.

  Bu ifade her zaman 1 değildir, yani doğruluk değeri 0 olabilir. Dolayısıyla, doğruluk değeri 1 olmayabilir.

• E) $(1 \lor p) \land [q' \implies (q \implies p')]$

  İlk kısım: $1 \lor p \equiv 1$.

  İfade $1 \land [q' \implies (q \implies p')]$ halini alır, bu da $q' \implies (q \implies p')$ demektir.

  Şimdi $q \implies p'$ kısmını basitleştirelim: $q \implies p' \equiv q' \lor p'$.

  İfade $q' \implies (q' \lor p')$ olur. Bu ifade $A \implies (A \lor B)$ formundadır ve her zaman bir totolojidir.

  Yine $A \implies B \equiv A' \lor B$ kuralını uygulayalım:

  $(q')' \lor (q' \lor p') \equiv q \lor q' \lor p'$.

  Biliyoruz ki $q \lor q' \equiv 1$. Dolayısıyla ifade $1 \lor p'$ olur. $1 \lor p'$ her zaman 1'dir (bir totolojidir).

Yukarıdaki analizlere göre, A, B, C ve E seçeneklerindeki ifadeler her zaman 1 doğruluk değerine sahipken, D seçeneğindeki ifade bazı durumlarda 0 doğruluk değerine sahip olabilir.

Cevap D seçeneğidir.