Verilen soruyu adım adım çözelim:

• Adım 1: Verilen önermeyi ve tersini belirleyelim.

  Verilen önerme: $P: (p \lor q) \implies (r \implies s)'$

  Bir $A \implies B$ önermesinin tersi $A' \implies B'$ şeklindedir.

  Buna göre, $P$ önermesinin tersi:

  $P_{tersi}: (p \lor q)' \implies ((r \implies s)')'$

  De Morgan kuralları ve çift değilleme ile basitleştirelim:

  • $(p \lor q)' \equiv p' \land q'$
  • $((r \implies s)')' \equiv (r \implies s)$

  Dolayısıyla, $P_{tersi}: (p' \land q') \implies (r \implies s)$

• Adım 2: Ters önermenin yanlış olma durumunu kullanalım.

  Soruda $P_{tersi}$ önermesinin yanlış (0) olduğu belirtilmiştir:

  $(p' \land q') \implies (r \implies s) \equiv 0$

  Bir $A \implies B$ önermesinin yanlış olması için, $A$ doğru (1) ve $B$ yanlış (0) olmalıdır.

  Bu durumda:

  1. $(p' \land q') \equiv 1$
  2. $(r \implies s) \equiv 0$
• Adım 3: p, q, r, s önermelerinin doğruluk değerlerini bulalım.

  1. $(p' \land q') \equiv 1$ ise, hem $p' \equiv 1$ hem de $q' \equiv 1$ olmalıdır.

  • $p' \equiv 1 \implies p \equiv 0$
  • $q' \equiv 1 \implies q \equiv 0$

  2. $(r \implies s) \equiv 0$ ise, $r \equiv 1$ ve $s \equiv 0$ olmalıdır.

  Özetle doğruluk değerleri:

  • $p \equiv 0$
  • $q \equiv 0$
  • $r \equiv 1$
  • $s \equiv 0$
• Adım 4: İstenen önermenin doğruluk değerini hesaplayalım.

  İstenen önerme: $(p' \land q) \iff (r \lor s)$

  Bulduğumuz doğruluk değerlerini yerine yazalım:

  • $p' \equiv 0' \equiv 1$
  • $q \equiv 0$
  • $r \equiv 1$
  • $s \equiv 0$

  Önermenin ilk kısmı: $(p' \land q) \equiv (1 \land 0) \equiv 0$

  Önermenin ikinci kısmı: $(r \lor s) \equiv (1 \lor 0) \equiv 1$

  Şimdi bu iki kısmı iki yönlü koşul (ancak ve ancak) ile birleştirelim:

  $(p' \land q) \iff (r \lor s) \equiv 0 \iff 1$

  Bir iki yönlü koşul önermesi, bileşenleri farklı doğruluk değerlerine sahip olduğunda yanlış (0) olur.

  Bu durumda $0 \iff 1 \equiv 0$.

Sonuç olarak, istenen önerme 0'a denktir.

Cevap A seçeneğidir.