Verilen ifadelerin doğruluğunu adım adım inceleyelim:
- I. İfade:
\((p \Rightarrow q) \equiv (q' \Rightarrow p')\)
Bu ifade, mantıkta karşıt ters (kontrapozitif) kuralı olarak bilinir. Bir koşullu önermenin karşıt tersi, orijinal önermeye denktir.
İspat:
\((p \Rightarrow q) \equiv (p' \lor q)\)
\((q' \Rightarrow p') \equiv ((q')' \lor p') \equiv (q \lor p') \equiv (p' \lor q)\)
Her iki ifade de
\((p' \lor q)\)
ifadesine denk olduğundan, I. ifade doğrudur. - II. İfade:
\(p \Leftrightarrow q = 0\)
ise\(q' \Leftrightarrow p\)
çift gerektirmedir.\(p \Leftrightarrow q = 0\)
olması, p ve q önermelerinin doğruluk değerlerinin farklı olduğu anlamına gelir. Yani, (p=1, q=0) veya (p=0, q=1) durumları vardır.- Durum 1:
\(p=1, q=0\)
Bu durumda
\(q' \Leftrightarrow p = 0' \Leftrightarrow 1 = 1 \Leftrightarrow 1 = 1\)
olur. - Durum 2:
\(p=0, q=1\)
Bu durumda
\(q' \Leftrightarrow p = 1' \Leftrightarrow 0 = 0 \Leftrightarrow 0 = 1\)
olur.
Her iki durumda da
\(q' \Leftrightarrow p\)
önermesi 1 (doğru) değerini aldığından, bu koşul altında\(q' \Leftrightarrow p\)
bir totolojidir (daima doğrudur), yani çift gerektirmedir. Bu nedenle II. ifade doğrudur. - Durum 1:
- III. İfade:
\(p \Leftrightarrow q = 1\)
ise\(q \Rightarrow p\)
gerektirmedir.\(p \Leftrightarrow q = 1\)
olması, p ve q önermelerinin doğruluk değerlerinin aynı olduğu anlamına gelir. Yani, (p=1, q=1) veya (p=0, q=0) durumları vardır.- Durum 1:
\(p=1, q=1\)
Bu durumda
\(q \Rightarrow p = 1 \Rightarrow 1 = 1\)
olur. - Durum 2:
\(p=0, q=0\)
Bu durumda
\(q \Rightarrow p = 0 \Rightarrow 0 = 1\)
olur.
Her iki durumda da
\(q \Rightarrow p\)
önermesi 1 (doğru) değerini aldığından, bu koşul altında\(q \Rightarrow p\)
bir totolojidir (daima doğrudur), yani gerektirmedir. Bu nedenle III. ifade doğrudur. - Durum 1:
Yukarıdaki incelemelere göre, I, II ve III numaralı ifadelerin hepsi doğrudur.
Cevap E seçeneğidir.