Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Çember ve Yarım Çemberin Yarıçaplarını Bulma:
• M merkezli yarım çemberin merkezi M, BC kenarı üzerindedir ve DC kenarına teğettir. Şekilden anlaşıldığı üzere, yarım çemberin çapı BC kenarı üzerindedir ve M, BC'nin orta noktasıdır.
• Verilen bilgiye göre $|BM| = 4$ cm'dir. M, BC'nin orta noktası olduğundan $|MC| = |BM| = 4$ cm olur.
• Bu durumda, yarım çemberin yarıçapı $r_2 = |MC| = 4$ cm'dir.
• Dikdörtgenin yüksekliği $AD = BC = |BM| + |MC| = 4 + 4 = 8$ cm'dir.
• O merkezli çember, AD, AB ve DC kenarlarına teğettir. Bu durumda çemberin çapı dikdörtgenin yüksekliğine eşittir.
• Yani, $2r_1 = AD = 8$ cm, buradan $r_1 = 4$ cm bulunur.
• Sonuç olarak, hem çemberin hem de yarım çemberin yarıçapı $r = 4$ cm'dir.
• 2. Dikdörtgenin Boyutlarını Bulma:
• Dikdörtgenin yüksekliği $AD = 8$ cm'dir.
• Çemberin merkezi O, D noktasından $r_1$ kadar sağda ve $r_1$ kadar yukarıdadır. Yani O'nun koordinatları $(4, 4)$'tür (D noktasını $(0,0)$ kabul edersek).
• Yarım çemberin merkezi M, y-koordinatı $r_2 = 4$ olan bir noktadır.
• Çember ve yarım çember birbirine teğet olduğundan, merkezleri arasındaki uzaklık yarıçaplarının toplamına eşittir: $OM = r_1 + r_2 = 4 + 4 = 8$ cm.
• O ve M'nin y-koordinatları aynı olduğundan, $OM = |x_M - x_O|$'dur.
• $|x_M - 4| = 8 \Rightarrow x_M = 12$ (M, O'nun sağındadır). Yani M'nin koordinatları $(12, 4)$'tür.
• Dikdörtgenin uzunluğu DC, C noktasının x-koordinatıdır. Yarım çemberin merkezi M $(12, 4)$ ve yarıçapı $r_2 = 4$ cm'dir. Yarım çemberin en sağ noktası C'dir.
• Bu durumda, $DC = x_M + r_2 = 12 + 4 = 16$ cm'dir.
• Dikdörtgenin boyutları: Yükseklik $AD = 8$ cm, Uzunluk $DC = 16$ cm.
• 3. Sarı Renkli Bölgenin Çevresini Hesaplama:
• Sarı renkli bölgenin çevresi, çemberin yayı, yarım çemberin yayı ve dikdörtgenin kenarlarındaki düz çizgilerin toplamından oluşur.
• Çemberin yayı: Tam çemberin çevresi $2\pi r_1 = 2 \times 3 \times 4 = 24$ cm'dir.
• Yarım çemberin yayı: Yarım çemberin çevresi $\pi r_2 = 3 \times 4 = 12$ cm'dir.
• Düz çizgiler:
  • AD kenarı üzerindeki kısım (D'den çemberin teğet noktasına): $r_1 = 4$ cm.
  • AB kenarı üzerindeki kısım (A'dan çemberin teğet noktasına): $r_1 = 4$ cm.
  • BC kenarı üzerindeki kısım ($BM$ ve $MC$): $|BM| + |MC| = 4 + 4 = 8$ cm.
  • DC kenarı üzerindeki kısım (C'den yarım çemberin teğet noktasına): $r_2 = 4$ cm.
  • DC kenarı üzerindeki kısım (D'den çemberin teğet noktasına): $r_1 = 4$ cm.
  • DC kenarı üzerindeki orta kısım (çember ile yarım çemberin teğet noktaları arası): $DC - r_1 - r_2 = 16 - 4 - 4 = 8$ cm.
• Toplam düz çizgi uzunluğu $= 4 + 4 + 8 + 4 + 4 + 8 = 32$ cm'dir.
• Sarı renkli bölgenin toplam çevresi = (Çember yayı) + (Yarım çember yayı) + (Düz çizgiler toplamı)
• Toplam çevre $= 24 + 12 + 32 = 68$ cm'dir.

Cevap D seçeneğidir.