Bir şeklin kare olabilmesi için tüm kenar uzunluklarının eşit ve iç açılarının 90 derece olması gerekir. Geometri tahtasında noktalar arası mesafeyi 1 birim kabul ederek her seçeneği inceleyelim:

• A) A - B - C - D:
  • A noktasından B noktasına yatayda 3 birim.
  • B noktasından C noktasına dikeyde 3 birim.
  • C noktasından D noktasına yatayda 3 birim.
  • D noktasından A noktasına dikeyde 3 birim.
  • Tüm kenar uzunlukları 3 birimdir ve kenarlar birbirine diktir. Bu bir karedir.
• B) K - L - M - N:
  • Noktaların koordinatlarını belirleyelim (örneğin sol alt köşeyi (0,0) alarak): K=(3,5), L=(1,3), M=(3,1), N=(5,3).
  • KL kenar uzunluğu: $\sqrt{(1-3)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$
  • LM kenar uzunluğu: $\sqrt{(3-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$
  • MN kenar uzunluğu: $\sqrt{(5-3)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$
  • NK kenar uzunluğu: $\sqrt{(3-5)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$
  • Tüm kenar uzunlukları eşittir ($\sqrt{8}$). Ayrıca, köşegenler KM ve LN de eşit uzunluktadır (4 birim) ve birbirini dik keser. Bu bir karedir.
• C) P - R - Y - S:
  • Noktaların koordinatlarını belirleyelim: P=(3,1), R=(4,2), Y=(2,4), S=(1,2).
  • PR kenar uzunluğu: $\sqrt{(4-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$
  • RY kenar uzunluğu: $\sqrt{(2-4)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$
  • YS kenar uzunluğu: $\sqrt{(1-2)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$
  • SP kenar uzunluğu: $\sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
  • Kenar uzunlukları eşit değildir ($\sqrt{2}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{5}$). Bu nedenle, bu noktalar bir kare oluşturamaz.
• D) T - M - O - N:
  • Noktaların koordinatlarını belirleyelim: T=(3,3), M=(3,1), O=(5,1), N=(5,3).
  • TM kenar uzunluğu: Dikeyde 2 birim.
  • MO kenar uzunluğu: Yatayda 2 birim.
  • ON kenar uzunluğu: Dikeyde 2 birim.
  • NT kenar uzunluğu: Yatayda 2 birim.
  • Tüm kenar uzunlukları 2 birimdir ve kenarlar birbirine diktir. Bu bir karedir.

Sadece C seçeneğindeki noktaların kenar uzunlukları eşit değildir, bu yüzden bir kare oluşturamazlar.

Cevap C seçeneğidir.