Emel'in 1 Mart 2025'ten 8 Mart 2025'e kadar çektiği kartlardaki etkinliklerin sayılarını belirleyelim:

• Dans: 1 Mart, 6 Mart (2 adet)
• Gitar: 2 Mart, 3 Mart, 7 Mart, 8 Mart (4 adet)
• Resim: 4 Mart (1 adet)
• Drama: 5 Mart (1 adet)

Toplamda 8 kart çekilmiştir.

Şimdi 9 Mart 2025 günü çekilecek karttaki etkinliğin deneysel olasılığının \( \frac{1}{2} \) olduğu bilgisi verilmiştir. Bu tür problemlerde, "deneysel olasılık" ifadesi genellikle başlangıçtaki kart dağılımı ve kalan kartlar üzerinden bir olasılık ilişkisi kurar.

Bu soruyu çözmek için iki temel varsayımda bulunmalıyız:

1. Başlangıçta torbaya konulan toplam kart sayısı \( N_{toplam} \) ve belirli bir etkinlikten (\( X \)) konulan kart sayısı \( N_X \) olsun. 9 Mart'ta çekilecek etkinliğin başlangıçtaki olasılığı \( \frac{N_X}{N_{toplam}} = \frac{1}{2} \) olmalıdır.
2. 8 kart çekildikten sonra torbada kalan kart sayısı \( N_{toplam} - 8 \) olacaktır. 9 Mart'ta çekilecek etkinliğin (\( X \)) kalan kartlar içindeki olasılığı da \( \frac{N_X - (\text{çekilen X kartı sayısı})}{N_{toplam} - 8} = \frac{1}{2} \) olmalıdır.

Şimdi bu iki koşulu her bir seçenek için kontrol edelim:

A) Dans:

• Çekilen Dans kartı sayısı: 2
• Koşul 1: \( \frac{N_{Dans}}{N_{toplam}} = \frac{1}{2} \Rightarrow N_{toplam} = 2N_{Dans} \)
• Koşul 2: \( \frac{N_{Dans} - 2}{N_{toplam} - 8} = \frac{1}{2} \)
• Koşul 1'i Koşul 2'de yerine koyalım: \( \frac{N_{Dans} - 2}{2N_{Dans} - 8} = \frac{1}{2} \)
• \( 2(N_{Dans} - 2) = 2N_{Dans} - 8 \)
• \( 2N_{Dans} - 4 = 2N_{Dans} - 8 \)
• \( -4 = -8 \) (Çelişki)
• Bu nedenle Dans olamaz.

B) Drama:

• Çekilen Drama kartı sayısı: 1
• Koşul 1: \( \frac{N_{Drama}}{N_{toplam}} = \frac{1}{2} \Rightarrow N_{toplam} = 2N_{Drama} \)
• Koşul 2: \( \frac{N_{Drama} - 1}{N_{toplam} - 8} = \frac{1}{2} \)
• Koşul 1'i Koşul 2'de yerine koyalım: \( \frac{N_{Drama} - 1}{2N_{Drama} - 8} = \frac{1}{2} \)
• \( 2(N_{Drama} - 1) = 2N_{Drama} - 8 \)
• \( 2N_{Drama} - 2 = 2N_{Drama} - 8 \)
• \( -2 = -8 \) (Çelişki)
• Bu nedenle Drama olamaz.

C) Resim:

• Çekilen Resim kartı sayısı: 1
• Koşul 1: \( \frac{N_{Resim}}{N_{toplam}} = \frac{1}{2} \Rightarrow N_{toplam} = 2N_{Resim} \)
• Koşul 2: \( \frac{N_{Resim} - 1}{N_{toplam} - 8} = \frac{1}{2} \)
• Koşul 1'i Koşul 2'de yerine koyalım: \( \frac{N_{Resim} - 1}{2N_{Resim} - 8} = \frac{1}{2} \)
• \( 2(N_{Resim} - 1) = 2N_{Resim} - 8 \)
• \( 2N_{Resim} - 2 = 2N_{Resim} - 8 \)
• \( -2 = -8 \) (Çelişki)
• Bu nedenle Resim olamaz.

D) Gitar:

• Çekilen Gitar kartı sayısı: 4
• Koşul 1: \( \frac{N_{Gitar}}{N_{toplam}} = \frac{1}{2} \Rightarrow N_{toplam} = 2N_{Gitar} \)
• Koşul 2: \( \frac{N_{Gitar} - 4}{N_{toplam} - 8} = \frac{1}{2} \)
• Koşul 1'i Koşul 2'de yerine koyalım: \( \frac{N_{Gitar} - 4}{2N_{Gitar} - 8} = \frac{1}{2} \)
• \( 2(N_{Gitar} - 4) = 2N_{Gitar} - 8 \)
• \( 2N_{Gitar} - 8 = 2N_{Gitar} - 8 \)
• \( 0 = 0 \) (Tutarlılık)

Bu durum, koşulların Gitar etkinliği için tutarlı olduğunu göstermektedir. Ayrıca, torbada en az bir Gitar kartı kalması için \( N_{Gitar} - 4 > 0 \Rightarrow N_{Gitar} > 4 \) olmalıdır. Benzer şekilde, torbada en az bir kart kalması için \( N_{toplam} - 8 > 0 \Rightarrow 2N_{Gitar} - 8 > 0 \Rightarrow N_{Gitar} > 4 \) olmalıdır. Örneğin, başlangıçta 5 Gitar kartı ve toplam 10 kart olsaydı, 4 Gitar kartı çekildikten sonra 1 Gitar kartı kalır ve toplamda 2 kart kalır (1 Gitar, 1 başka etkinlik). Bu durumda Gitar çekme olasılığı \( \frac{1}{2} \) olurdu.

Sonuç olarak, verilen koşulları sağlayan tek etkinlik Gitar'dır.

Cevap D seçeneğidir.