İrem'in başlangıçtaki parasının ne kadarının kaldığını adım adım bulalım:

• Adım 1: Hediye aldıktan sonra kalan para miktarını bulma.

  İrem parasının \(\frac{2}{9}\)'sini hediye için harcamıştır. Başlangıçtaki parasının tamamını 1 birim olarak kabul edersek, geriye kalan para miktarı:

  \(1 - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\)

  Yani parasının \(\frac{7}{9}\)'si kalmıştır.

• Adım 2: Yemek yedikten sonra kalan para miktarını bulma.

  Geriye kalan parasının (\(\frac{7}{9}\)'sinin) \(\frac{1}{7}\)'i ile yemek yemiştir. Yemek için harcadığı miktar, başlangıçtaki parasına göre:

  \(\frac{7}{9} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{9}\)

  Bu, başlangıçtaki parasının \(\frac{1}{9}\)'idir.

• Adım 3: Toplam harcanan para miktarını bulma.

  Toplam harcanan para miktarı (hediye + yemek):

  \(\frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)

  İrem, başlangıçtaki parasının \(\frac{1}{3}\)'ünü harcamıştır.

• Adım 4: Son durumda kalan para miktarını bulma.

  Başlangıçtaki parasının tamamından harcanan miktarı çıkarırsak, kalan parayı buluruz:

  \(1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)

  Buna göre İrem'in elinde başlangıçtaki parasının \(\frac{2}{3}\)'ü kalmıştır.

Cevap C seçeneğidir.