Verilen bilgilere göre, iki pozitif tam sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılar "aralarında asal" olarak tanımlanır. Soruda A ve B tam sayılarının aralarında asal olduğu belirtilmiştir.

• Adım 1: A ve B sayılarını X cinsinden ifade edelim.

  Verilen eşitlikler:

  • $A \cdot X = 126 \implies A = \frac{126}{X}$
  • $B \cdot X = 210 \implies B = \frac{210}{X}$

  A ve B tam sayı olduğuna göre, X sayısı hem 126'nın hem de 210'un bir böleni olmalıdır.

• Adım 2: 126 ve 210 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
  • $126 = 2 \times 63 = 2 \times 3^2 \times 7$
  • $210 = 2 \times 105 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$
• Adım 3: A ve B'nin aralarında asal olma koşulunu kullanalım.

  A ve B aralarında asal ise $GCD(A, B) = 1$ olmalıdır.

  $GCD(\frac{126}{X}, \frac{210}{X}) = 1$

  Genel bir kural olarak, $GCD(\frac{a}{k}, \frac{b}{k}) = \frac{GCD(a, b)}{k}$'dir. Bu durumda:

  $\frac{GCD(126, 210)}{X} = 1$

  Şimdi 126 ve 210'un en büyük ortak bölenini (EBOB) bulalım:

  $GCD(126, 210) = 2 \times 3 \times 7 = 42$

  Bu değeri eşitlikte yerine koyarsak:

  $\frac{42}{X} = 1 \implies X = 42$

• Adım 4: A ve B değerlerini hesaplayalım.

  $A = \frac{126}{X} = \frac{126}{42} = 3$

  $B = \frac{210}{X} = \frac{210}{42} = 5$

  Kontrol edelim: $GCD(3, 5) = 1$. Yani A ve B aralarında asaldır.

• Adım 5: A + B ifadesinin değerini bulalım.

  $A + B = 3 + 5 = 8$

Cevap A seçeneğidir.