Sorunun Çözümü
- Şifrenin en büyük değeri istendiği için, en soldaki basamaklardan başlayarak en büyük rakamları seçmeye çalışırız.
- Şifre $abcd$ dört basamaklı bir sayıdır ve rakamları birbirinden farklı olmalıdır.
- $ab$ iki basamaklı sayısı 4 ile kalansız bölünmelidir. 'a' için en büyük rakam olan 9'u seçelim. 'b' için 9'dan farklı ve $9b$ sayısının 4'e bölünebilmesini sağlayan en büyük rakamı arayalım.
- $98$ sayısı 4'e bölünmez ($98 = 4 \times 24 + 2$).
- $97$ sayısı 4'e bölünmez.
- $96$ sayısı 4'e bölünür ($96 = 4 \times 24$). Bu durumda $a=9$ ve $b=6$ olur.
- Şimdi $c$ ve $d$ rakamlarını bulmalıyız. Kullanılan rakamlar 9 ve 6'dır. Kalan rakamlar {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8} kümesindedir.
- $abcd$ sayısı 2 ile bölünebildiği için $d$ rakamı çift olmalıdır.
- $cd$ iki basamaklı sayısı 3 ile kalansız bölünmelidir. Yani $c+d$ toplamı 3'ün katı olmalıdır.
- $c$ için kalan rakamlardan en büyüğünü seçelim: 8.
- $d$ için kalan rakamlardan (9, 6, 8 hariç) çift olan ve $c+d$ toplamını 3'e bölen en büyük rakamı seçelim. Kalan çift rakamlar {0, 2, 4} kümesindedir.
- Eğer $d=4$ olursa, $cd=84$. $8+4=12$ ve 12 sayısı 3'e bölünür. Bu durumda $d=4$ olabilir.
- Böylece şifre $9684$ olarak bulunur. Rakamlar (9, 6, 8, 4) birbirinden farklıdır.
- Tüm koşulları kontrol edelim:
- 4 hanelidir. Evet.
- Rakamları birbirinden farklıdır (9, 6, 8, 4). Evet.
- $ab=96$, 4 ile kalansız bölünür. Evet.
- $cd=84$, 3 ile kalansız bölünür ($8+4=12$). Evet.
- $abcd=9684$, 2 ile kalansız bölünür (son basamağı 4). Evet.
- Diğer seçenekleri kontrol ettiğimizde:
- A) $9284$: Tüm koşulları sağlar ancak $9684$'ten küçüktür.
- C) $9687$: $d=7$ olduğu için 2'ye bölünmez.
- D) $9876$: $ab=98$ olduğu için 4'e bölünmez.
- Doğru Seçenek B'dır.