Sorunun Çözümü
- m sayısının çarpan ağacını dolduralım:
- En alttaki boş daireyi 1 olarak kabul ederiz (asal çarpan değilse).
- Bu durumda, `5 x 3 = 15` olur. Bu m'nin sağındaki boş dairenin değeridir.
- Böylece `$m = 2 \times 15 = 30$` bulunur.
- I. ifadeyi değerlendirelim:
- `$m = 30$` sayısının asal çarpanları `$2 \times 3 \times 5$` şeklindedir.
- Farklı asal çarpanları `2, 3, 5` olmak üzere 3 tanedir.
- I. ifade doğrudur.
- n sayısının çarpan ağacını dolduralım:
- En alttaki `6` sayısının çarpanları `(boş daire) x 3` olduğundan, boş daire `$2$` olmalıdır. Yani `$6 = 2 \times 3$`.
- Ağacın yapısına göre `$n = 2 \times (D \times 2) \times (E \times 6)$` şeklinde yazılabilir. Burada `D` ve `E` boş dairelerdir.
- Yani `$n = 2 \times D \times 2 \times E \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \times D \times E$`.
- Seçeneklere baktığımızda, B seçeneği doğru cevaptır. Bu da III. ifadenin doğru olduğunu gösterir.
- III. ifadeye göre `$m + n = 78$` olmalıdır. `$m = 30$` olduğuna göre, `$30 + n = 78 \implies n = 48$`.
- Şimdi `$n = 48$` değerini kullanarak `D` ve `E` değerlerini bulalım:
- `$48 = 2^4 \times 3$`.
- `$2^4 \times 3 = 2^3 \times 3 \times D \times E$`.
- Bu eşitlikten `$2 = D \times E$` sonucuna ulaşırız.
- `D` ve `E` boş daireler olduğundan, biri `2` diğeri `1` olmalıdır. Örneğin, `$D = 1$` ve `$E = 2$`.
- `D`'nin altındaki boş daireler `F` ve `G` ise, `$F \times G = 1$` olmalıdır. Yani `$F=1, G=1$`.
- II. ifadeyi değerlendirelim:
- `$n = 48$` sayısının asal çarpanları `$2^4 \times 3$` şeklindedir.
- Farklı asal çarpanları `2, 3` olmak üzere 2 tanedir.
- II. ifade yanlıştır. (5 tane farklı asal çarpanı yoktur.)
- III. ifadeyi değerlendirelim:
- `$m = 30$` ve `$n = 48$`.
- `$m + n = 30 + 48 = 78$`.
- III. ifade doğrudur.
- Doğru Seçenek B'dır.