Sorunun Çözümü
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olsun. Alanı $A = a \times b = 80 m^2$ olarak verilmiştir.
- Kenar uzunlukları $a$ ve $b$ doğal sayılar olup, aralarında asaldır ($GCD(a, b) = 1$).
- Alanı $80 m^2$ olan dikdörtgenin kenar uzunlukları için olası doğal sayı çiftlerini bulalım:
- $(1, 80)$
- $(2, 40)$
- $(4, 20)$
- $(5, 16)$
- $(8, 10)$
- Bu çiftler arasından aralarında asal olanları seçelim:
- $(1, 80)$: $GCD(1, 80) = 1$. Aralarında asaldır.
- $(2, 40)$: $GCD(2, 40) = 2$. Aralarında asal değildir.
- $(4, 20)$: $GCD(4, 20) = 4$. Aralarında asal değildir.
- $(5, 16)$: $GCD(5, 16) = 1$. Aralarında asaldır.
- $(8, 10)$: $GCD(8, 10) = 2$. Aralarında asal değildir.
- Aralarında asal olan kenar uzunlukları çiftleri $(1, 80)$ ve $(5, 16)$'dır.
- Çevre uzunluğu $P = 2 \times (a + b)$ formülü ile bulunur.
- $(1, 80)$ için çevre: $P = 2 \times (1 + 80) = 2 \times 81 = 162 m$.
- $(5, 16)$ için çevre: $P = 2 \times (5 + 16) = 2 \times 21 = 42 m$.
- Tarla çevresinin en az olması için, kenar uzunlukları birbirine en yakın ve aralarında asal olan çift seçilmelidir. Bu durumda en küçük çevre uzunluğu $42 m$'dir.
- Doğru Seçenek B'dır.