Merhaba Sevgili Öğrenciler! 👋

Bugünkü ders notumuzda, matematiğin temel konularından biri olan Ortak Katlar ve Ortak Bölenler konusunu detaylıca inceleyeceğiz. Bu konu, günlük hayatta birçok farklı durumda karşımıza çıkabileceği gibi, ileriki matematik konularına da sağlam bir zemin oluşturur. Hazırsanız, sayıların dünyasında keyifli bir yolculuğa çıkalım! 🚀

1. Bölenler (Çarpanlar) ve Ortak Bölenler Nedir? 🤔

Bir sayıyı kalansız olarak bölebilen sayılara o sayının bölenleri veya çarpanları denir. Örneğin, 12 sayısını ele alalım:

• 12'yi kalansız bölen sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir.
• Yani, 12'nin bölenleri (çarpanları) {1, 2, 3, 4, 6, 12} kümesidir.

Peki, Ortak Bölenler ne demek? İki veya daha fazla sayıyı aynı anda kalansız olarak bölebilen sayılara bu sayıların ortak bölenleri denir. ✨

Ortak Bölenleri Nasıl Buluruz?

Ortak bölenleri bulmak için genellikle iki yöntem kullanırız:

• Yöntem 1: Bölenleri Listeleyerek Bulma 📝

  Bu yöntemde, her sayının tüm bölenlerini ayrı ayrı listeleriz ve daha sonra bu listelerde ortak olan sayıları belirleriz.

  Örnek: 18 ve 24 sayılarının ortak bölenlerini bulalım.

  • 18'in bölenleri: {1, 2, 3, 6, 9, 18}
  • 24'ün bölenleri: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

  Bu iki listede ortak olan sayılar: {1, 2, 3, 6}'dır. Demek ki 18 ve 24'ün ortak bölenleri 1, 2, 3 ve 6'dır.

• Yöntem 2: Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi (EBOB için) 🌳

  Bu yöntemle, sayıların En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) buluruz. EBOB, ortak bölenlerin en büyüğüdür. EBOB, iki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük sayıdır. Günlük hayatta, bir şeyleri eşit parçalara ayırırken, gruplandırırken veya bölüştürürken EBOB'dan faydalanırız. Örneğin, farklı uzunluktaki kumaşları eşit ve en büyük parçalara bölmek istediğimizde EBOB kullanırız. ✂️

  EBOB'u bulmak için sayıları yan yana yazarız ve asal çarpanlarına ayırırız. Her iki sayıyı da bölen asal çarpanları işaretleriz. İşaretlediğimiz bu asal çarpanların çarpımı bize EBOB'u verir.

  Örnek: 18 ve 24 sayılarının EBOB'unu bulalım.

  18 24 | 2* (İkisini de böldü, işaretle!)
9 12 | 2
9 6 | 2
9 3 | 3* (İkisini de böldü, işaretle!)
3 1 | 3
1

  İşaretli asal çarpanlar 2 ve 3'tür. O halde EBOB(18, 24) = $2 \times 3 = 6$'dır. Gördüğün gibi, ortak bölenler listesindeki en büyük sayı da 6 idi. 👍

2. Katlar ve Ortak Katlar Nedir? ➕

Bir sayının katları, o sayının kendisiyle ve pozitif tam sayılarla çarpılmasıyla elde edilen sayılardır. Örneğin, 4 sayısının katları:

• 4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... şeklinde sonsuza kadar devam eder.

Peki, Ortak Katlar ne demek? İki veya daha fazla sayının ortak olan katlarına bu sayıların ortak katları denir. 🌟

Ortak Katları Nasıl Buluruz?

Ortak katları bulmak için de benzer yöntemler kullanırız:

• Yöntem 1: Katları Listeleyerek Bulma 📝

  Bu yöntemde, her sayının katlarını ayrı ayrı listeleriz ve daha sonra bu listelerde ortak olan sayıları belirleriz.

  Örnek: 4 ve 6 sayılarının ortak katlarını bulalım.

  • 4'ün katları: {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}
  • 6'nın katları: {6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}

  Bu iki listede ortak olan sayılar: {12, 24, 36, ...}'dır. Gördüğün gibi ortak katlar da sonsuza kadar devam eder. Ancak genellikle bizden En Küçük Ortak Kat (EKOK) istenir.

• Yöntem 2: Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi (EKOK için) 🌳

  Bu yöntemle, sayıların En Küçük Ortak Katını (EKOK) buluruz. EKOK, iki veya daha fazla sayının ortak katları arasındaki en küçük pozitif tam sayıdır. Günlük hayatta, farklı zamanlarda gerçekleşen olayların tekrar ne zaman birlikte olacağını bulmak için EKOK'tan faydalanırız. Örneğin, iki otobüsün aynı duraktan tekrar ne zaman birlikte geçeceğini bulmak için EKOK kullanırız. 🚌🚌

  EKOK'u bulmak için de sayıları yan yana yazarız ve asal çarpanlarına ayırırız. Bu sefer, tüm asal çarpanların çarpımı bize EKOK'u verir (işaretleme yapmaya gerek yok, sadece tüm asal çarpanları çarpıyoruz).

  Örnek: 4 ve 6 sayılarının EKOK'unu bulalım.

  4 6 | 2
2 3 | 2
1 3 | 3
1

  Tüm asal çarpanlar 2, 2 ve 3'tür. O halde EKOK(4, 6) = $2 \times 2 \times 3 = 12$'dir. Ortak katlar listesindeki en küçük sayı da 12 idi. Harika! 🎉

Özet ve Önemli İpuçları! 💡

• Bölenler (Çarpanlar): Bir sayıyı tam bölen sayılardır. En küçük bölen 1, en büyük bölen sayının kendisidir.
• Ortak Bölenler: İki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen sayılardır.
• EBOB (En Büyük Ortak Bölen): Ortak bölenlerin en büyüğüdür. Problemlerde genellikle "ayırma, bölme, gruplandırma" gibi anahtar kelimelerle karşılaşılır.
• Katlar: Bir sayının kendisiyle ve pozitif tam sayılarla çarpılmasıyla elde edilen sayılardır. Sayının kendisi en küçük katıdır. Katlar sonsuza kadar gider.
• Ortak Katlar: İki veya daha fazla sayının ortak olan katlarıdır.
• EKOK (En Küçük Ortak Kat): Ortak katların en küçüğüdür. Problemlerde genellikle "birleşme, karşılaşma, birlikte olma" gibi anahtar kelimelerle karşılaşılır.
• Asal çarpanlara ayırma yöntemi hem EBOB hem de EKOK bulmak için çok pratik bir yöntemdir. EBOB için sadece ortak bölenleri (işaretlileri) çarparız, EKOK için ise tüm bölenleri çarparız.

Bu ders notu, Ortak Kat ve Ortak Bölenler konusunu anlamana yardımcı olacaktır. Bol bol pratik yaparak bu konuda ustalaşabilirsin! Başarılar dilerim! 💪