6. Sınıf Ortak Kat ve Ortak Bölen Ders Notu 📚

Merhaba sevgili öğrenciler! 👋 Bu ders notumuzda, matematiğin temel konularından olan "Ortak Katlar" ve "Ortak Bölenler" kavramlarını detaylıca inceleyeceğiz. Bu konular, ileride göreceğiniz birçok matematik konusunun da temelini oluşturur. Hazırsanız, sayıların gizemli dünyasına bir yolculuğa çıkalım! 🚀

1. Bölenler (Çarpanlar) ve Katlar Nedir? 🤔

1.1. Bölenler (Çarpanlar)

Bir sayıyı tam olarak bölen, yani kalansız bölen sayılara o sayının bölenleri veya çarpanları denir. Her doğal sayı, 1'e ve kendisine tam bölünür.

• Örnek: 12 sayısının bölenlerini bulalım.
• 12'yi tam bölen sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir.
• Yani, 12'nin çarpanları da 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir.

1.2. Katlar

Bir doğal sayının kendisi ve doğal sayılarla (0 hariç) çarpılmasıyla elde edilen sayılara o sayının katları denir. Bir sayının katları sonsuza kadar gider.

• Örnek: 5 sayısının katlarını bulalım.
• 5'in katları: \(5 \times 1 = 5\), \(5 \times 2 = 10\), \(5 \times 3 = 15\), \(5 \times 4 = 20\), ... şeklinde devam eder.
• Yani 5, 10, 15, 20, 25, ... sayıları 5'in katlarıdır.

2. Ortak Bölenler ve En Büyük Ortak Bölen (EBOB) 🤝

2.1. Ortak Bölenler

İki veya daha fazla doğal sayının ortak olan bölenlerine ortak bölenler denir.

• Örnek: 12 ve 18 sayılarının ortak bölenlerini bulalım.
• 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• Bu iki sayının ortak bölenleri: 1, 2, 3, 6'dır.

2.2. En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenleri arasındaki en büyük sayıya En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir. EBOB, bazen OBF (Ortak Bölenlerin En Büyüğü) olarak da adlandırılır.

• Örnek: 12 ve 18 sayılarının EBOB'unu bulalım.
• Ortak bölenleri 1, 2, 3, 6 idi. Bu sayılar arasındaki en büyüğü 6'dır.
• O halde, \( \text{EBOB}(12, 18) = 6 \) olur.

2.3. EBOB Nasıl Bulunur? (Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi) 🌳

EBOB bulmanın en pratik yolu, sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır:

1. Verilen sayıları yan yana yazıp, en küçük asal sayıdan başlayarak (2, 3, 5, ...) her ikisini de bölen asal sayıları işaretleyerek bölme çizgisi çekilir.
2. İşaretlenen (yani her iki sayıyı da bölen) asal çarpanların çarpımı, EBOB'u verir.

• Örnek: 24 ve 36 sayılarının EBOB'unu bulalım.
• \( \begin{array}{cc|c} 24 & 36 & 2 \checkmark \\ 12 & 18 & 2 \checkmark \\ 6 & 9 & 2 \\ 3 & 9 & 3 \checkmark \\ 1 & 3 & 3 \\ & 1 & \end{array} \)
• İşaretli asal çarpanlar 2, 2 ve 3'tür.
• \( \text{EBOB}(24, 36) = 2 \times 2 \times 3 = 12 \)

Günlük Hayattan EBOB Örneği: Bir terzi, 24 metre ve 36 metre uzunluğundaki iki farklı kumaşı hiç artmayacak şekilde eşit ve en büyük parçalara ayırmak istiyorsa, her bir parçanın uzunluğu EBOB(24, 36) = 12 metre olmalıdır. 📏

3. Ortak Katlar ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) 🔄

3.1. Ortak Katlar

İki veya daha fazla doğal sayının ortak olan katlarına ortak katlar denir. Ortak katlar da sonsuza kadar gider.

• Örnek: 4 ve 6 sayılarının ortak katlarını bulalım.
• 4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...
• 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
• Bu iki sayının ortak katları: 12, 24, 36, ...'dır.

3.2. En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki veya daha fazla doğal sayının ortak katları arasındaki en küçük sayıya En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir. EKOK, bazen OKKE (Ortak Katların En Küçüğü) olarak da adlandırılır.

• Örnek: 4 ve 6 sayılarının EKOK'unu bulalım.
• Ortak katları 12, 24, 36, ... idi. Bu sayılar arasındaki en küçüğü 12'dir.
• O halde, \( \text{EKOK}(4, 6) = 12 \) olur.

3.3. EKOK Nasıl Bulunur? (Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi) 🌳

EKOK bulmanın en pratik yolu da sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır:

1. Verilen sayıları yan yana yazıp, en küçük asal sayıdan başlayarak bölme çizgisi çekilir.
2. Tüm sayıların 1 olana kadar bölme işlemine devam edilir.
3. Çizginin sağındaki tüm asal çarpanların çarpımı, EKOK'u verir.

• Örnek: 10 ve 15 sayılarının EKOK'unu bulalım.
• \( \begin{array}{cc|c} 10 & 15 & 2 \\ 5 & 15 & 3 \\ 5 & 5 & 5 \\ 1 & 1 & \end{array} \)
• Tüm asal çarpanlar 2, 3 ve 5'tir.
• \( \text{EKOK}(10, 15) = 2 \times 3 \times 5 = 30 \)

Günlük Hayattan EKOK Örneği: İki otobüsten biri 10 dakikada bir, diğeri 15 dakikada bir aynı duraktan kalkıyor. Eğer ikisi de şimdi birlikte kalktıysa, tekrar ne zaman birlikte kalkarlar? EKOK(10, 15) = 30 dakika sonra. 🚌🚌

4. Aralarında Asal Sayılar (Coprime Numbers) ✨

İki doğal sayının 1'den başka ortak böleni yoksa, bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Bu kavram, özellikle EBOB ile yakından ilişkilidir.

• Kural: Eğer iki sayı aralarında asalsa, bu sayıların EBOB'u 1'dir. Yani, \( \text{EBOB}(a, b) = 1 \) ise a ve b aralarında asaldır.

Aralarında Asal Olma Durumları ve Özellikleri:

• Sayıların kendilerinin asal olması şart değildir. Örneğin, 8 (asal değil) ve 9 (asal değil) sayılarına bakalım:
  • 8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8
  • 9'un bölenleri: 1, 3, 9
  • Ortak bölenleri sadece 1'dir. Bu yüzden 8 ve 9 aralarında asaldır.
• 1 sayısı her doğal sayı ile aralarında asaldır. Örneğin, EBOB(1, 7) = 1.
• Ardışık doğal sayılar her zaman aralarında asaldır. Örneğin, 5 ve 6; 10 ve 11 aralarında asaldır.
• Ardışık tek sayılar her zaman aralarında asaldır. Örneğin, 7 ve 9; 13 ve 15 aralarında asaldır.
• İki asal sayı her zaman aralarında asaldır. Örneğin, 3 ve 7 aralarında asaldır.

Örnek Soru Tipi: "Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisinin ortak böleni sadece 1 sayısıdır?" Bu tür bir soru, doğrudan aralarında asal sayıları bulmanızı ister. Cevapladığınız seçenekteki sayıların 1'den başka ortak böleni olmamalıdır. 🤔

Umarım bu ders notu, Ortak Katlar, Ortak Bölenler ve Aralarında Asal Sayılar konularını daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Bol bol pratik yaparak bu konularda ustalaşabilirsiniz! Başarılar dilerim! 🌟