Oyundaki puanlama kuralı şu şekildedir:

• Sayıyı söyleyen oyuncu, söylenen sayının asal olmayan çarpan sayısı kadar puan alır.
• Rakip oyuncu, söylenen sayının asal çarpan sayısı kadar puan alır.

Bir sayının çarpan sayısı $\tau(N)$ ve asal çarpan sayısı $k$ ise, asal olmayan çarpan sayısı $\tau(N) - k$ olarak hesaplanır.

1. Fatih'in söylediği sayı (36) için puanları hesaplayalım:

• $36 = 2^2 \cdot 3^2$
• Asal çarpanları: 2, 3. Yani $k = 2$.
• Toplam çarpan sayısı: $\tau(36) = (2+1)(2+1) = 3 \cdot 3 = 9$.
• Asal olmayan çarpan sayısı: $9 - 2 = 7$.
• Fatih (söyleyen) 7 puan alır.
• Gamze (rakip) 2 puan alır.

Bu durumda, Gamze'nin şu anki puanı 2, Fatih'in şu anki puanı 7'dir.

2. Gamze'nin oyunu kazanması için her seçeneği değerlendirelim:

Gamze'nin söyleyeceği sayı $X$ olsun. Gamze'nin puanı $2 + (\text{X'in asal olmayan çarpan sayısı})$, Fatih'in puanı $7 + (\text{X'in asal çarpan sayısı})$ olacaktır. Gamze'nin kazanması için Gamze'nin puanı > Fatih'in puanı olmalıdır.

• A) Gamze 30 derse:
  • $30 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
  • Asal çarpan sayısı ($k$): 3 (2, 3, 5)
  • Toplam çarpan sayısı: $\tau(30) = (1+1)(1+1)(1+1) = 8$
  • Asal olmayan çarpan sayısı: $8 - 3 = 5$
  • Gamze'nin puanı: $2 + 5 = 7$
  • Fatih'in puanı: $7 + 3 = 10$
  • Gamze (7) < Fatih (10). Gamze kazanamaz.
• B) Gamze 54 derse:
  • $54 = 2^1 \cdot 3^3$
  • Asal çarpan sayısı ($k$): 2 (2, 3)
  • Toplam çarpan sayısı: $\tau(54) = (1+1)(3+1) = 2 \cdot 4 = 8$
  • Asal olmayan çarpan sayısı: $8 - 2 = 6$
  • Gamze'nin puanı: $2 + 6 = 8$
  • Fatih'in puanı: $7 + 2 = 9$
  • Gamze (8) < Fatih (9). Gamze kazanamaz.
• C) Gamze 60 derse:
  • $60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
  • Asal çarpan sayısı ($k$): 3 (2, 3, 5)
  • Toplam çarpan sayısı: $\tau(60) = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$
  • Asal olmayan çarpan sayısı: $12 - 3 = 9$
  • Gamze'nin puanı: $2 + 9 = 11$
  • Fatih'in puanı: $7 + 3 = 10$
  • Gamze (11) > Fatih (10). Gamze kazanır.
• D) Gamze 64 derse:
  • $64 = 2^6$
  • Asal çarpan sayısı ($k$): 1 (2)
  • Toplam çarpan sayısı: $\tau(64) = (6+1) = 7$
  • Asal olmayan çarpan sayısı: $7 - 1 = 6$
  • Gamze'nin puanı: $2 + 6 = 8$
  • Fatih'in puanı: $7 + 1 = 8$
  • Gamze (8) = Fatih (8). Berabere kalır, Gamze kazanamaz.

Gamze'nin oyunu kazanabilmesi için 60 sayısını söylemesi gerekir.

Cevap C seçeneğidir.