Verilen bilgilere göre, bir dikdörtgenin çevre uzunluğu 20 cm'dir ve kenar uzunlukları asal sayılardır. Dikdörtgenin alanını bulmamız gerekiyor.

• Bir dikdörtgenin çevre uzunluğu, kenar uzunlukları a ve b olmak üzere, \(2(a+b)\) formülü ile bulunur.
• Soruda çevre uzunluğu 20 cm olarak verildiği için:
  \(2(a+b) = 20\) cm
  \(a+b = 10\) cm
• Şimdi, toplamları 10 olan ve her ikisi de asal sayı olan a ve b değerlerini bulmalıyız. Asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, ... şeklinde devam eder.
• Olası asal sayı çiftlerini inceleyelim:
  • Eğer \(a=2\) ise, \(b = 10-2 = 8\). Ancak 8 asal sayı değildir.
  • Eğer \(a=3\) ise, \(b = 10-3 = 7\). Hem 3 hem de 7 asal sayıdır. Bu geçerli bir kenar çiftidir.
  • Eğer \(a=5\) ise, \(b = 10-5 = 5\). Hem 5 hem de 5 asal sayıdır. Bu da geçerli bir kenar çiftidir (kare de bir dikdörtgendir).
  • Eğer \(a=7\) ise, \(b = 10-7 = 3\). Bu, (3, 7) çiftinin aynısıdır.
• Buna göre, dikdörtgenin kenar uzunlukları (3 cm, 7 cm) veya (5 cm, 5 cm) olabilir.
• Şimdi bu durumlar için alanı hesaplayalım:
  • Kenarlar (3 cm, 7 cm) ise: Alan = \(a \times b = 3 \times 7 = 21\) cm²
  • Kenarlar (5 cm, 5 cm) ise: Alan = \(a \times b = 5 \times 5 = 25\) cm²
• Seçeneklere baktığımızda, 21 cm² değeri D seçeneğinde bulunmaktadır.

Cevap D seçeneğidir.