Bu ders notu, 6. sınıf öğrencilerinin "Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar" konusundaki bilgilerini pekiştirmeleri, kavramları doğru anlamaları ve test sorularını çözerken karşılaşabilecekleri zorlukları aşmaları için hazırlanmıştır. Notumuz, asal sayı tanımından başlayarak, bir sayının çarpanlarını bulmaya, asal çarpanlara ayırma yöntemlerine ve bu bilgileri problem çözmede kullanmaya kadar geniş bir yelpazeyi kapsamaktadır. Amacımız, bu konuyu en sade ve anlaşılır şekilde sunarak öğrencilerin başarılarına katkı sağlamaktır.

Asal Sayı Nedir? 🤔

• Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen (yani sadece iki tane çarpanı olan) 1'den büyük doğal sayılardır.
• En küçük asal sayı 2'dir. 2, aynı zamanda çift olan tek asal sayıdır. Diğer tüm asal sayılar tek sayıdır.
• 1 sayısı asal sayı değildir. Çünkü 1'in sadece bir tane çarpanı vardır (kendisi). Asal sayı tanımına göre iki çarpanı olmalıdır.
• İlk birkaç asal sayı şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
• 💡 İpucu: Özellikle iki basamaklı sayılarda bir sayının asal olup olmadığını anlamak için 2, 3, 5, 7 gibi küçük asal sayılara bölünüp bölünmediğini kontrol etmek genellikle yeterlidir.
• ⚠️ Dikkat: 51 (3 x 17), 57 (3 x 19), 91 (7 x 13) gibi sayılar ilk bakışta asal gibi görünse de aslında asal değildir! Bu tür "görünüşte asal" sayılara dikkat edin.

Bir Sayının Çarpanları (Bölenleri) Nelerdir? 🧩

• Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölen her doğal sayıya o sayının çarpanı veya böleni denir.
• Her doğal sayı, 1'e ve kendisine kalansız bölünür. Bu yüzden 1 ve sayının kendisi, her zaman o sayının çarpanıdır.
• Örnek: 12 sayısının çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. (1 x 12, 2 x 6, 3 x 4)
• 💡 İpucu: Çarpanları bulurken, 1'den başlayarak sırayla hangi sayılara bölündüğünü kontrol edebilir ve çarpım çiftlerini oluşturabilirsiniz.

Asal Çarpan Nedir? 🌟

• Bir sayının çarpanları arasında asal olanlara o sayının asal çarpanları denir.
• Örnek: 12 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 12 idi. Bu çarpanlar arasında asal olanlar 2 ve 3'tür. Yani 12'nin asal çarpanları 2 ve 3'tür.
• Bir sayının kaç tane farklı asal çarpanı olduğunu bulmak önemlidir. 12'nin 2 farklı asal çarpanı vardır (2 ve 3).

Bir Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma Yöntemleri 🌳📝

Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmak için iki temel yöntem kullanılır:

1. Çarpan Ağacı Yöntemi 🌳

• Sayı en üste yazılır.
• Sayı, iki çarpanına ayrılır. Bu çarpanlardan biri asal sayı ise daire içine alınır ve aşağıya doğru devam edilmez. Asal değilse, o sayı da tekrar çarpanlarına ayrılır.
• Bu işlem, tüm dalların ucunda asal sayılar kalana kadar devam eder.
• Örnek: 60 sayısını çarpan ağacı ile ayıralım.
  • 60
  • / \
  • 2 30
  • / \
  • 2 15
  • / \
  • 3 5
• 60'ın asal çarpanları 2, 2, 3, 5'tir. Farklı asal çarpanları ise 2, 3, 5'tir.

2. Asal Çarpan Algoritması (Bölen Listesi) Yöntemi 📝

• Sayı bir çizginin soluna yazılır.
• Çizginin sağına, sayıyı bölen en küçük asal sayı yazılır.
• Sayı bu asal sayıya bölünür ve sonuç çizginin altına yazılır.
• Bu işlem, sonuç 1 olana kadar devam eder.
• Çizginin sağında kalan tüm sayılar o sayının asal çarpanlarıdır.
• Örnek: 60 sayısını asal çarpan algoritması ile ayıralım.
  • 60 | 2
  • 30 | 2
  • 15 | 3
  • 5 | 5
  • 1 |
• 60'ın asal çarpanları 2, 2, 3, 5'tir. Farklı asal çarpanları ise 2, 3, 5'tir.
• 💡 İpucu: Daima en küçük asal sayıdan (2'den) başlayarak bölme işlemine devam edin. Eğer 2'ye bölünmüyorsa 3'e, 3'e bölünmüyorsa 5'e geçin.

Asal Çarpanları Üslü İfade Şeklinde Yazma 🚀

• Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırdıktan sonra, aynı olan asal çarpanları üslü ifade şeklinde yazabiliriz.
• Örnek: 60 sayısının asal çarpanları 2, 2, 3, 5 idi. Bunu üslü ifade şeklinde yazarsak: $60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$ olur.
• Burada 2'nin üssü 2 (çünkü iki tane 2 var), 3'ün üssü 1 (çünkü bir tane 3 var), 5'in üssü 1'dir (çünkü bir tane 5 var).
• 💡 İpucu: Bir sayının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılması, o sayının tüm çarpanlarını bulmada ve başka konularda (EBOB-EKOK gibi) çok işe yarar.

Farklı Asal Çarpanların Toplamı ve Sayısı ➕

• Bir sayının farklı asal çarpanlarını bulduktan sonra, bu asal çarpanları toplayabilir veya kaç tane olduklarını sayabiliriz.
• Örnek: 84 sayısının farklı asal çarpanlarını bulalım:
  • 84 | 2
  • 42 | 2
  • 21 | 3
  • 7 | 7
  • 1 |
• 84'ün asal çarpanları 2, 2, 3, 7'dir.
• Farklı asal çarpanları ise 2, 3, 7'dir.
• Farklı asal çarpanlarının sayısı 3'tür (2, 3, 7).
• Farklı asal çarpanlarının toplamı $2 + 3 + 7 = 12$'dir.

Asal Rakamlar ve Sayı Oluşturma 🔢

• Rakamlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9'dur.
• Bu rakamlar arasında asal olanlar şunlardır: 2, 3, 5, 7.
• Bu asal rakamları kullanarak belirli özelliklere sahip sayılar oluşturma soruları karşınıza çıkabilir.
• Örnek: Asal rakamlar kullanılarak yazılabilecek rakamları farklı en küçük dört basamaklı doğal sayı:
  • En küçük sayıyı oluşturmak için en küçük rakamları en büyük basamaklara yazmalıyız.
  • Asal rakamlarımız 2, 3, 5, 7.
  • Sayıyı küçükten büyüğe doğru sıralarsak: 2357.
• 💡 İpucu: "En küçük" dendiğinde, en büyük basamağa en küçük rakamı getirmeye çalışın. "Rakamları farklı" kuralına dikkat edin.

Bu ders notu, asal sayılar ve asal çarpanlar konusundaki temel bilgileri ve problem çözme stratejilerini kapsamaktadır. Konuları düzenli tekrar ederek ve bol bol soru çözerek bu alandaki yetkinliğinizi artırabilirsiniz. Başarılar dileriz! 🚀