Verilen kilidin şifresi üç basamaklı bir doğal sayıdır. Bu şifrenin aşağıdaki özelliklere sahip olması gerekmektedir:
- 5'e kalansız bölünebiliyor.
- 4'e kalansız bölünebiliyor.
- 9'a kalansız bölünebiliyor.
Şifrenin alabileceği değerleri bulmak için bu kuralları adım adım uygulayalım:
- 5'e Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 5'e kalansız bölünebilmesi için son basamağının 0 veya 5 olması gerekir.
- 4'e Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 4'e kalansız bölünebilmesi için son iki basamağının oluşturduğu sayının 4'ün katı olması gerekir.
- 9'a Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 9'a kalansız bölünebilmesi için rakamları toplamının 9'un katı olması gerekir.
Şifre hem 5'e hem de 4'e kalansız bölünebildiği için, bu sayının son basamağı 0 olmalıdır. (Çünkü son basamak 5 olsaydı, son iki basamak _5 şeklinde olurdu ve _5 ile biten hiçbir sayı 4'e bölünemez.)
Şifre hem 5'e hem 4'e hem de 9'a kalansız bölünebildiği için, bu sayı 5, 4 ve 9'un en küçük ortak katına (EKOK) tam bölünmelidir.
EKOK(5, 4, 9) hesaplayalım:
- 5 ve 4 aralarında asaldır, EKOK(5, 4) = 5 * 4 = 20.
- 20 ve 9 aralarında asaldır, EKOK(20, 9) = 20 * 9 = 180.
Yani, şifre 180'in bir katı olmalıdır.
Şifre üç basamaklı bir doğal sayı olduğu için 100 ile 999 arasında olmalıdır. 180'in bu aralıktaki katlarını bulalım:
- $180 \times 1 = 180$
- $180 \times 2 = 360$
- $180 \times 3 = 540$
- $180 \times 4 = 720$
- $180 \times 5 = 900$
- $180 \times 6 = 1080$ (Bu sayı dört basamaklı olduğu için geçerli değildir.)
Yukarıdaki listede 180, 360, 540, 720 ve 900 olmak üzere 5 farklı değer bulunmaktadır. Bu sayılar hem üç basamaklıdır hem de 5, 4 ve 9'a kalansız bölünebilirler.
Cevap C seçeneğidir.