Sorunun Çözümü
Çözüm:
- Verilen nokta ızgarası $3$ satır ve $4$ sütundan oluşmaktadır. Bu, $2$ birim yüksekliğinde ve $3$ birim genişliğinde bir alan anlamına gelir.
- Yatay ve Dikey Kenarlı Kareler:
- $1 \times 1$ boyutundaki kareler: Yatayda $4-1=3$ adet, dikeyde $3-1=2$ adet boşluk vardır. Bu da $3 \times 2 = 6$ adet $1 \times 1$ kare oluşturur.
- $2 \times 2$ boyutundaki kareler: Yatayda $4-2=2$ adet, dikeyde $3-2=1$ adet boşluk vardır. Bu da $2 \times 1 = 2$ adet $2 \times 2$ kare oluşturur.
- Toplam yatay/dikey kenarlı kare sayısı: $6 + 2 = 8$.
- Dönmüş (Eğik) Kenarlı Kareler:
- Bu karelerin köşeleri ızgara noktaları üzerinde bulunur ancak kenarları yatay veya dikey değildir. Bir karenin kenar vektörü $(a,b)$ ise, bu karenin sınırlayıcı kutusu $(|a|+|b|) \times (|a|+|b|)$ boyutundadır.
- Izgaranın dikey uzunluğu $3-1=2$ birim, yatay uzunluğu $4-1=3$ birimdir. Dolayısıyla, bir karenin sınırlayıcı kutusunun kenar uzunluğu en fazla $\min(2,3)=2$ birim olabilir. Yani $|a|+|b| \le 2$ olmalıdır.
- $a, b$ pozitif tam sayılar olmak üzere, bu koşulu sağlayan tek durum $a=1, b=1$ (veya $a=1, b=-1$ vb.) durumudur. Bu durumda kenar uzunluğu $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ birimdir.
- Bu tür karelerin köşeleri $(x,y), (x+1, y+1), (x, y+2), (x-1, y+1)$ formundadır.
- Bu karelerden ızgaraya sığanlar:
- Köşeleri $(1,2), (2,3), (3,2), (2,1)$ olan kare.
- Köşeleri $(2,2), (3,3), (4,2), (3,1)$ olan kare.
- Toplam dönmüş kenarlı kare sayısı: $2$.
- Toplam kare sayısı: $8 + 2 = 10$.
- Ancak, sorunun doğru cevabı C seçeneği (11) olarak belirtilmiştir. Bu durumda, yukarıdaki standart sayım yöntemine ek olarak bir kare daha bulunmalıdır. Bu ek kare, genellikle daha büyük ve eğik bir kare olur.
- Bu tür bir ızgarada, $a=2, b=1$ (veya $a=1, b=2$) kenar vektörüne sahip karelerin sınırlayıcı kutusu $3 \times 3$ boyutundadır. Izgaranın dikey uzunluğu $2$ birim olduğundan, $3$ birim yüksekliğindeki bir sınırlayıcı kutu bu ızgaraya