Mantık Dünyasına Hoş Geldiniz: 9. Sınıf Bileşik Önermeler Ders Notu 🧠✨
Merhaba sevgili öğrenciler! 👋 Mantık, matematik ve bilgisayar bilimlerinin temelini oluşturan, düşünme ve akıl yürütme becerilerimizi geliştiren harika bir konudur. Bu ders notunda, 9. sınıf matematik müfredatının ilk konularından biri olan "Bileşik Önermeler" konusunu adım adım keşfedeceğiz. Hazırsanız, mantık kapılarını aralayalım! 🚀
1. Önerme Nedir? 🤔
Matematikte "önerme",
doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere denir. Bir ifadenin önerme olabilmesi için, kişiden kişiye değişmeyen, herkes tarafından kabul edilebilir bir doğruluk değerine sahip olması gerekir.
- Örnekler:
- "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." (Bu bir önermedir ve doğruluk değeri doğrudur. ✅)
- "2 + 3 = 5'tir." (Bu bir önermedir ve doğruluk değeri doğrudur. ✅)
- "Bir hafta 7 gündür." (Bu bir önermedir ve doğruluk değeri doğrudur. ✅)
- "En büyük asal sayı 17'dir." (Bu bir önermedir ve doğruluk değeri yanlıştır. ❌)
- "Kediler uçar." (Bu bir önermedir ve doğruluk değeri yanlıştır. ❌)
Peki, neler önerme değildir? 🚫
- Soru cümleleri: "Bugün hava güzel mi?"
- Emir cümleleri: "Kapıyı kapat!"
- Ünlem cümleleri: "Yaşasın!"
- Göreceli (kişisel) ifadeler: "Bu elbise çok güzel." (Güzellik kişiden kişiye değişir.)
2. Doğruluk Değeri ve Doğruluk Tablosu 💯
Bir önermenin doğru ya da yanlış olma durumuna
doğruluk değeri denir.
- Bir önerme doğru ise doğruluk değeri 1 (D) ile gösterilir.
- Bir önerme yanlış ise doğruluk değeri 0 (Y) ile gösterilir.
Genellikle önermeler
p, q, r, s gibi küçük harflerle gösterilir.
Eğer
n tane farklı önerme varsa, bu önermelerin birlikte
$2^n$ farklı doğruluk durumu vardır.
3. Bir Önermenin Değili (Olumsuzu) (') 🙅♀️
Bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle elde edilen yeni önermeye, o önermenin
değili (ya da
olumsuzu) denir.
p önermesinin değili
$p'$ (veya
$\neg p$) ile gösterilir.
- Eğer p önermesi doğru ise ($p \equiv 1$), $p'$ önermesi yanlıştır ($p' \equiv 0$).
- Eğer p önermesi yanlış ise ($p \equiv 0$), $p'$ önermesi doğrudur ($p' \equiv 1$).
Özetle:
- $(p')' \equiv p$ (Bir önermenin değilinin değili, kendisine denktir.)
Örnek:
- p: "Ankara, Türkiye'nin başkentidir." ($p \equiv 1$)
- $p'$: "Ankara, Türkiye'nin başkenti değildir." ($p' \equiv 0$)
4. Bileşik Önermeler ve Bağlaçlar 🔗
İki veya daha fazla önermenin
mantık bağlaçları ile birbirine bağlanmasıyla elde edilen yeni önermelere
bileşik önerme denir. En sık kullanılan bağlaçlar şunlardır:
- Ve ($\wedge$) Bağlacı (Konjonksiyon) 🤝
- Veya ($\vee$) Bağlacı (Dizjonksiyon) 👐
- Ya da ($\underline{\vee}$) Bağlacı (Özel Veya) 🤷♀️
- İse ($\Rightarrow$) Bağlacı (Koşullu Önerme) 👉
- Ancak ve Ancak ($\Leftrightarrow$) Bağlacı (Çift Yönlü Koşullu Önerme) ↔️
Şimdi bu bağlaçları ve doğruluk değerlerini detaylı inceleyelim.
4.1. "Ve" ($\wedge$) Bağlacı (Konjonksiyon) 🤝
İki önermenin "ve" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye
konjonksiyon denir.
p ve
q önermelerinin "ve" bağlacı ile birleşimi
$p \wedge q$ şeklinde gösterilir.
Kural: $p \wedge q$ bileşik önermesi,
her iki önerme de doğru iken doğru, diğer tüm durumlarda yanlıştır. Tıpkı bir takım çalışması gibi; herkes doğru yaparsa sonuç doğru olur, biri bile hata yaparsa sonuç yanlış olur. ⚽️
Doğruluk Tablosu:
| $p$ |
$q$ |
$p \wedge q$ |
| 1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
0 |
| 0 |
0 |
0 |
Örnek:
- p: "Güneş bir yıldızdır." ($p \equiv 1$)
- q: "Ay bir gezegendir." ($q \equiv 0$)
- $p \wedge q$: "Güneş bir yıldızdır ve Ay bir gezegendir." ($1 \wedge 0 \equiv 0$) Bu önerme yanlıştır, çünkü Ay gezegen değil, Dünya'nın uydusudur.
4.2. "Veya" ($\vee$) Bağlacı (Dizjonksiyon) 👐
İki önermenin "veya" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye
dizjonksiyon denir.
p ve
q önermelerinin "veya" bağlacı ile birleşimi
$p \vee q$ şeklinde gösterilir.
Kural: $p \vee q$ bileşik önermesi,
her iki önerme de yanlış iken yanlış, diğer tüm durumlarda doğrudur. Tıpkı bir menüden seçim yaparken "pizza veya hamburger" demeniz gibi; ikisinden birini seçseniz de, ikisini de seçseniz de isteğiniz yerine gelmiş olur. Sadece ikisini de seçmezseniz isteğiniz olmaz. 🍕🍔
Doğruluk Tablosu:
| $p$ |
$q$ |
$p \vee q$ |
| 1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
1 |
| 0 |
1 |
1 |
| 0 |
0 |
0 |
Örnek:
- p: "2 tek sayıdır." ($p \equiv 0$)
- q: "3 asal sayıdır." ($q \equiv 1$)
- $p \vee q$: "2 tek sayıdır veya 3 asal sayıdır." ($0 \vee 1 \equiv 1$) Bu önerme doğrudur, çünkü 3 asal sayıdır.
4.3. "Ya da" ($\underline{\vee}$) Bağlacı (Özel Veya) 🤷♀️
İki önermenin "ya da" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye
özel veya denir.
p ve
q önermelerinin "ya da" bağlacı ile birleşimi
$p \underline{\vee} q$ şeklinde gösterilir.
Kural: $p \underline{\vee} q$ bileşik önermesi,
önermelerden sadece biri doğru iken doğru, diğer tüm durumlarda yanlıştır. Tıpkı bir oyunda "ya kazanırsın ya kaybedersin" gibi; ikisi birden aynı anda olmaz, ikisi de olmazsa da olmaz. 🏆😔
Doğruluk Tablosu:
| $p$ |
$q$ |
$p \underline{\vee} q$ |
| 1 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
| 0 |
1 |
1 |
| 0 |
0 |
0 |
4.4. "İse" ($\Rightarrow$) Bağlacı (Koşullu Önerme) 👉
İki önermenin "ise" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye
koşullu önerme denir.
p ve
q önermelerinin "ise" bağlacı ile birleşimi
$p \Rightarrow q$ şeklinde gösterilir.
Kural: $p \Rightarrow q$ bileşik önermesi,
ilk önerme doğru, ikinci önerme yanlış iken yanlış, diğer tüm durumlarda doğrudur. Bunu bir söz verme gibi düşünebilirsiniz: "Eğer ders çalışırsan, sınavdan yüksek not alırsın." Eğer ders çalışır (doğru) ve yüksek not alamazsan (yanlış), söz bozulmuş olur. Diğer tüm durumlarda söz geçerlidir. 📚📝
Doğruluk Tablosu:
| $p$ |
$q$ |
$p \Rightarrow q$ |
| 1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
1 |
| 0 |
0 |
1 |
4.5. "Ancak ve Ancak" ($\Leftrightarrow$) Bağlacı (Çift Yönlü Koşullu Önerme) ↔️
İki önermenin "ancak ve ancak" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye
çift yönlü koşullu önerme denir.
p ve
q önermelerinin "ancak ve ancak" bağlacı ile birleşimi
$p \Leftrightarrow q$ şeklinde gösterilir.
Kural: $p \Leftrightarrow q$ bileşik önermesi,
her iki önermenin de doğruluk değerleri aynı iken doğru, farklı iken yanlıştır. Tıpkı bir denge durumu gibi; ya ikisi de doğru ya da ikisi de yanlış olacak. ⚖️
Doğruluk Tablosu:
| $p$ |
$q$ |
$p \Leftrightarrow q$ |
| 1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
0 |
| 0 |
0 |
1 |
5. Denk Önermeler ⚖️
Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye
denk önermeler denir.
p ve
q önermeleri denk ise
$p \equiv q$ şeklinde gösterilir.
Örnek:
- p: "2 çift sayıdır." ($p \equiv 1$)
- q: "3 tek sayıdır." ($q \equiv 1$)
- Bu durumda $p \equiv q$ diyebiliriz, çünkü ikisinin de doğruluk değeri 1'dir.
6. Bileşik Önermelerin Özellikleri ve Kuralları 🛠️
Bazı önemli özellikler ve kurallar, bileşik önermeleri sadeleştirmemize ve daha kolay anlamamıza yardımcı olur:
- Değişme Özelliği:
- $p \wedge q \equiv q \wedge p$
- $p \vee q \equiv q \vee p$
- Birleşme Özelliği:
- $(p \wedge q) \wedge r \equiv p \wedge (q \wedge r)$
- $(p \vee q) \vee r \equiv p \vee (q \vee r)$
- Dağılma Özelliği:
- $p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)$
- $p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r)$
- Tek Kuvvet Özelliği:
- $p \wedge p \equiv p$
- $p \vee p \equiv p$
- De Morgan Kuralları: (Çok önemli! 🚨)
- $(p \wedge q)' \equiv p' \vee q'$
- $(p \vee q)' \equiv p' \wedge q'$
- "Ve" Bağlacında Yutan Eleman ve Birim Eleman:
- $p \wedge 0 \equiv 0$ (0, "ve" bağlacında yutan elemandır. Bir tane bile yanlış varsa sonuç yanlıştır.)
- $p \wedge 1 \equiv p$ (1, "ve" bağlacında birim elemandır. Doğruluk değeri p'ye bağlıdır.)
- "Veya" Bağlacında Yutan Eleman ve Birim Eleman:
- $p \vee 1 \equiv 1$ (1, "veya" bağlacında yutan elemandır. Bir tane bile doğru varsa sonuç doğrudur.)
- $p \vee 0 \equiv p$ (0, "veya" bağlacında birim elemandır. Doğruluk değeri p'ye bağlıdır.)
- Diğer Önemli Eşitlikler:
- $p \wedge p' \equiv 0$
- $p \vee p' \equiv 1$
- $p \Rightarrow q \equiv p' \vee q$ (Bu, "ise" bağlacını "veya" ve "değili" ile ifade etmenin yoludur.)
7. Totoloji ve Çelişki 🧐
- Totoloji: Bir bileşik önerme, bileşenlerinin tüm doğruluk değerleri için daima doğru (1) ise bu önermeye totoloji denir. (Örnek: $p \vee p' \equiv 1$) ✨
- Çelişki: Bir bileşik önerme, bileşenlerinin tüm doğruluk değerleri için daima yanlış (0) ise bu önermeye çelişki denir. (Örnek: $p \wedge p' \equiv 0$) 💥
Özet ve İpuçları 💡
Bu konuda başarılı olmak için:
- Her bir bağlacın doğruluk tablosunu iyi ezberleyin ve mantığını anlayın. Özellikle "ve" ($\wedge$) ve "veya" ($\vee$) bağlaçları temeldir.
- Bileşik önermelerin işlem önceliği yoktur. Parantez içindeki işlemlerden başlanır, tıpkı matematikteki gibi.
- De Morgan kurallarını ve diğer özellikleri kullanarak karmaşık önermeleri sadeleştirmeyi öğrenin.
- Bol bol örnek çözün ve günlük hayattan mantık kurallarına uygun durumlar düşünerek konuyu pekiştirin.
Umarım bu ders notu, "Bileşik Önermeler" konusunu anlamanıza ve testlerde başarılı olmanıza yardımcı olur! Başarılar dilerim! 🌟📚
