Sorunun Çözümü
- I. Önermesi: `$x^2 + 3 < \frac{1}{3}$` ifadesini düzenlersek `$x^2 < \frac{1}{3} - 3 \Rightarrow x^2 < -\frac{8}{3}$` elde ederiz. Gerçek bir sayının karesi `$x^2 \ge 0$` olduğundan, `$x^2$` negatif bir sayıdan küçük olamaz. Bu nedenle, bu eşitsizliği sağlayan hiçbir `$x \in R$` yoktur. Önerme yanlıştır (0).
- II. Önermesi: Her `$x \in Z$` için, `$x \cdot y = 0$` olacak şekilde bir `$y \in Z$` var mıdır? Eğer `$x = 0$` ise, herhangi bir `$y$` için `$0 \cdot y = 0$` olur. Eğer `$x \ne 0$` ise, `$y = 0$` seçilirse `$x \cdot 0 = 0$` olur. Her durumda, `$y = 0$` seçimi bu koşulu sağlar. Önerme doğrudur (1).
- III. Önermesi: Bu önerme iki koşulun ve (`$\land$`) bağlacı ile birleşimidir.
- Birinci kısım: `$\forall x \in R, \frac{x-1}{x-1} = 1$`. Bu ifade `$x \ne 1$` olduğu sürece doğrudur. Ancak `$x = 1$` için ifade tanımsızdır (`$\frac{0}{0}$`). Evrensel niceleyici (`$\forall$`) tüm gerçek sayılar için geçerli olmasını gerektirdiğinden, bu kısım yanlıştır.
- İkinci kısım: `$\forall x \in R, \frac{x-5}{5-x} = -1$`. Bu ifade `$x \ne 5$` olduğu sürece doğrudur (`$\frac{x-5}{-(x-5)} = -1$`). Ancak `$x = 5$` için ifade tanımsızdır (`$\frac{0}{0}$`). Evrensel niceleyici tüm gerçek sayılar için geçerli olmasını gerektirdiğinden, bu kısım da yanlıştır.
- Doğruluk değerleri sırasıyla 0, 1, 0'dır.
- Doğru Seçenek B'dır.