Sorunun Çözümü
- Öncelikle A kümesinin elemanlarını bulalım. $A = \{x \mid 15 < x < 100, x = 3k, k \in \mathbb{Z}\}$ olduğundan, A kümesi 15 ile 100 arasındaki 3'ün katlarından oluşur. Bu sayılar $18, 21, ..., 99$'dur.
- A kümesinin eleman sayısı $|A| = \frac{99 - 18}{3} + 1 = \frac{81}{3} + 1 = 27 + 1 = 28$'dir.
- Şimdi B kümesinin elemanlarını bulalım. $B = \{x \mid 23 < x < 145, x = 4k, k \in \mathbb{Z}\}$ olduğundan, B kümesi 23 ile 145 arasındaki 4'ün katlarından oluşur. Bu sayılar $24, 28, ..., 144$'tür.
- B kümesinin eleman sayısı $|B| = \frac{144 - 24}{4} + 1 = \frac{120}{4} + 1 = 30 + 1 = 31$'dir.
- $A \cap B$ kümesinin elemanlarını bulalım. Bu küme hem 3'ün hem de 4'ün katı olan, yani $\text{EKOK}(3, 4) = 12$'nin katı olan sayılardan oluşur. Ayrıca $x$ hem $15 < x < 100$ hem de $23 < x < 145$ koşullarını sağlamalıdır. Bu da $23 < x < 100$ aralığını verir.
- $A \cap B$ kümesi 23 ile 100 arasındaki 12'nin katlarından oluşur. Bu sayılar $24, 36, ..., 96$'dır.
- $A \cap B$ kümesinin eleman sayısı $|A \cap B| = \frac{96 - 24}{12} + 1 = \frac{72}{12} + 1 = 6 + 1 = 7$'dir.
- $A \cup B$ kümesinin eleman sayısı formülü $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ şeklindedir.
- Değerleri yerine koyarsak $|A \cup B| = 28 + 31 - 7 = 59 - 7 = 52$'dir.
- Doğru Seçenek B'dır.