Merhaba sevgili 5. sınıf öğrencileri! Bu ders notu, "Eşitliğin Korunumu" ve "İşlem Özellikleri" konularını daha iyi anlamanız için hazırlandı. Sınavlarınızda karşınıza çıkabilecek terazi problemleri, bilinmeyenli eşitlikler, doğal sayılarla işlemlerin özel kuralları ve üslü ifadeler gibi önemli konuları burada bulacaksınız. Hazırsanız, öğrenmeye başlayalım! 🚀

1. Eşitlik ve Denklem Çözme: Teraziler ve Bilinmeyenler ⚖️

Eşitlik, iki tarafın da aynı değere sahip olması demektir. Tıpkı dengede duran bir eşit kollu terazi gibi! Terazi dengedeyse, sol kefedeki ağırlıkların toplamı, sağ kefedeki ağırlıkların toplamına eşittir.

• Eşitliğin Korunumu İlkesi: Bir eşitliği bozmadan üzerinde değişiklikler yapabiliriz.
• Eşitliğin her iki tarafına aynı sayıyı eklersek, eşitlik bozulmaz. (Örnek: $5 = 5 \implies 5 + 2 = 5 + 2 \implies 7 = 7$)
• Eşitliğin her iki tarafından aynı sayıyı çıkarırsak, eşitlik bozulmaz. (Örnek: $10 = 10 \implies 10 - 3 = 10 - 3 \implies 7 = 7$)
• Eşitliğin her iki tarafını aynı sayıyla çarparsak, eşitlik bozulmaz. (Örnek: $4 = 4 \implies 4 \times 2 = 4 \times 2 \implies 8 = 8$)
• Eşitliğin her iki tarafını sıfır hariç aynı sayıyla bölersek, eşitlik bozulmaz. (Örnek: $12 = 12 \implies 12 \div 3 = 12 \div 3 \implies 4 = 4$)
• Bilinmeyenli Eşitlikler: Bazı eşitliklerde bir sayı yerine bir sembol (kare, üçgen, daire vb.) veya harf (x, y gibi) kullanılır. Bu sembolün değerini bulmaya "denklem çözme" denir.
• Örnek: Bir terazi sol kefesinde 3 elma ve 5 kg ağırlık, sağ kefesinde ise 10 kg ağırlıkla dengede duruyor. Bir elmanın kütlesi kaç kg'dır?
• Bu durumu $3 \times \text{Elma} + 5 = 10$ şeklinde yazabiliriz.
• Eşitliğin her iki tarafından 5 çıkararak: $3 \times \text{Elma} = 10 - 5 \implies 3 \times \text{Elma} = 5$.
• Bu durumda bir elmanın kütlesi $5 \div 3$ olur. (Bu örnek 5. sınıf seviyesinde tam sayı çıkmayabilir, ama mantık aynıdır.)

💡 İpucu: Bilinmeyeni bulmak için, eşitliğin bir tarafında bilinmeyeni yalnız bırakmaya çalışın. Bunun için toplama işleminin tersi çıkarma, çarpma işleminin tersi bölmedir.

2. Doğal Sayılarla İşlem Özellikleri ✨

Doğal sayılarla yaptığımız toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin bazı özel kuralları vardır. Bunlara "işlem özellikleri" denir.

• Değişme Özelliği (Toplama ve Çarpma İçin): Sayıların yerini değiştirmek, toplama ve çarpma işlemlerinin sonucunu değiştirmez.
• Toplama: $a + b = b + a$ (Örnek: $7 + 3 = 3 + 7 = 10$)
• Çarpma: $a \times b = b \times a$ (Örnek: $5 \times 4 = 4 \times 5 = 20$)
• Birleşme Özelliği (Toplama ve Çarpma İçin): Üç veya daha fazla sayıyla toplama ya da çarpma yaparken, sayıları hangi sırayla gruplandırdığımız (parantez içine aldığımız) sonucu değiştirmez.
• Toplama: $(a + b) + c = a + (b + c)$ (Örnek: $(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) \implies 5 + 5 = 2 + 8 = 10$)
• Çarpma: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ (Örnek: $(2 \times 3) \times 5 = 2 \times (3 \times 5) \implies 6 \times 5 = 2 \times 15 = 30$)
• Dağılma Özelliği (Çarpmanın Toplama ve Çıkarma Üzerine): Bir çarpma işlemi, parantez içindeki toplama veya çıkarma işlemi üzerine dağıtılabilir.
• Toplama Üzerine Dağılma: $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ (Örnek: $6 \times (10 + 2) = (6 \times 10) + (6 \times 2) \implies 6 \times 12 = 60 + 12 = 72$)
• Çıkarma Üzerine Dağılma: $a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c)$ (Örnek: $5 \times (8 - 3) = (5 \times 8) - (5 \times 3) \implies 5 \times 5 = 40 - 15 = 25$)

⚠️ Dikkat: Çıkarma ve bölme işlemlerinde değişme veya birleşme özelliği yoktur. Örneğin, $5 - 3 \neq 3 - 5$ veya $(10 \div 2) \div 5 \neq 10 \div (2 \div 5)$.

3. Üslü İfadeler: Kare ve Küp 🔢

Bir sayının kendisiyle tekrar tekrar çarpılmasını kısa yoldan göstermeye üslü ifade denir.

• Karesi ($a^2$): Bir sayının kendisiyle iki kez çarpılmasına o sayının "karesi" denir. Üstüne küçük bir "2" yazılarak gösterilir.
• Örnek: $3^2$ (üçün karesi) demek $3 \times 3 = 9$ demektir.
• Günlük hayattan: Bir kenarı 5 cm olan kare bir fayansın alanı $5^2 = 25$ santimetrekaredir.
• Küpü ($a^3$): Bir sayının kendisiyle üç kez çarpılmasına o sayının "küpü" denir. Üstüne küçük bir "3" yazılarak gösterilir.
• Örnek: $2^3$ (ikinin küpü) demek $2 \times 2 \times 2 = 8$ demektir.
• Günlük hayattan: Bir kenarı 3 cm olan küp şeklindeki bir kutunun hacmi $3^3 = 27$ santimetreküptür.

💡 İpucu: Üslü ifadelerdeki küçük sayı (üs), tabandaki sayının kaç kere kendisiyle çarpılacağını gösterir. $5^4$ demek, $5 \times 5 \times 5 \times 5$ demektir.

4. Alan Hesaplamaları ve İşlem Önceliği 📐

Matematikte birden fazla işlem içeren ifadeleri çözerken belirli bir sıraya uymamız gerekir. Buna "işlem önceliği" denir.

• Dikdörtgenin Alanı: Bir dikdörtgenin alanını bulmak için uzun kenarı ile kısa kenarını çarparız.
• Alan = Uzun Kenar $\times$ Kısa Kenar
• Örnek: Uzun kenarı 20 cm, kısa kenarı 10 cm olan bir dikdörtgenin alanı $20 \times 10 = 200$ santimetrekaredir.
• Parçalı alan hesaplamalarında, büyük dikdörtgenin alanından küçük dikdörtgenlerin alanlarını çıkarabilir veya parçaların alanlarını ayrı ayrı hesaplayıp toplayabiliriz.
• İşlem Önceliği Kuralları:
• 1. Parantez İçi İşlemler 괄호 (varsa)
• 2. Üslü İfadeler (varsa)
• 3. Çarpma ve Bölme İşlemleri (soldan sağa doğru yapılır)
• 4. Toplama ve Çıkarma İşlemleri (soldan sağa doğru yapılır)
• Örnek: $10 \times (20 - 16)$ işlemini yapalım.
• Önce parantez içindeki çıkarma: $20 - 16 = 4$
• Sonra çarpma: $10 \times 4 = 40$

⚠️ Dikkat: İşlem önceliği kurallarına uymamak, yanlış sonuçlar bulmanıza neden olabilir. Her zaman bu sırayı aklınızda tutun! 😊