Birleşme özelliği (Associative Property), çarpma işleminde üç veya daha fazla sayı çarpılırken, sayıların gruplandırılma şeklinin (parantezlerin yerinin) sonucu değiştirmemesidir. Genel olarak, $a, b, c$ sayılar olmak üzere:
$$ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $$
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) $6 \times 3 = 2 \times 9$
Bu eşitlik, iki farklı çarpma işleminin sonucunun aynı olduğunu gösterir ($18 = 18$). Ancak bu, birleşme özelliği değildir.
- B) $5 \times 9 = 9 \times 5$
Bu eşitlik, çarpma işleminin değişme özelliğini (Commutative Property) gösterir. Sayıların sırası değiştiğinde sonucun değişmediğini ifade eder ($45 = 45$).
- C) $8 \times (3 \times 4) = 6 \times (4 \times 4)$
Bu bir eşitliktir ($8 \times 12 = 96$ ve $6 \times 16 = 96$). Ancak, birleşme özelliği olması için eşitliğin her iki tarafındaki sayılar aynı olmalı ve sadece parantezlerin yeri değişmelidir. Burada sayılar farklıdır (8, 3, 4 ve 6, 4, 4).
- D) $4 \times (12 \times 3) = (4 \times 12) \times 3$
Bu eşitlikte, 4, 12 ve 3 sayıları kullanılmıştır. Eşitliğin sol tarafında önce 12 ile 3 çarpılır, ardından sonuç 4 ile çarpılır. Sağ tarafta ise önce 4 ile 12 çarpılır, ardından sonuç 3 ile çarpılır. Sayılar aynı kalmış, sadece parantezlerin yeri değiştirilerek gruplandırma farklı yapılmıştır. Bu durum, çarpma işleminin birleşme özelliğini açıkça göstermektedir.
Kontrol edelim:
- Sol taraf: $4 \times (12 \times 3) = 4 \times 36 = 144$
- Sağ taraf: $(4 \times 12) \times 3 = 48 \times 3 = 144$
Her iki tarafın sonucu da aynıdır ve bu, birleşme özelliğinin tanımına uyar.
Cevap D seçeneğidir.