Sorunun Çözümü
- Gerçek şifrenin rakamları $P = \{p_1, p_2, p_3\}$ olsun. Bu rakamlar birbirinden farklıdır.
- Denemelerdeki rakam kümeleri: $T_1 = \{7, 2, 6\}$, $T_2 = \{5, 4, 2\}$, $T_3 = \{6, 5, 7\}$.
- Her denemede, gerçek şifredeki rakamlardan tam olarak iki tanesi tuttuğuna göre, $|P \cap T_1| = 2$, $|P \cap T_2| = 2$ ve $|P \cap T_3| = 2$ olmalıdır.
- $T_1$ ve $T_2$ kümelerinin ortak elemanı $2$'dir. $P$ kümesinin $2$'yi içerip içermediğini inceleyelim.
- Durum 1: $2 \notin P$ olsun.
- $|P \cap T_1| = 2$ olması için $P$ kümesi $\{7, 6\}$ rakamlarını içermelidir (çünkü $2 \notin P$). Yani $P = \{7, 6, x\}$ ve $x \notin \{7, 6, 2\}$.
- $|P \cap T_2| = 2$ olması için $P$ kümesi $\{5, 4\}$ rakamlarını içermelidir (çünkü $2 \notin P$). Yani $P = \{5, 4, y\}$ ve $y \notin \{5, 4, 2\}$.
- Bu durumda $P$ kümesi en az $\{7, 6, 5, 4\}$ rakamlarını içermelidir. Ancak şifre $3$ haneli olduğu için bu mümkün değildir. Dolayısıyla $2 \notin P$ olamaz.
- Durum 2: $2 \in P$ olsun.
- $|P \cap T_1| = 2$ olması için $P$ kümesi $2$'nin yanı sıra $T_1$'deki diğer iki rakamdan birini içermelidir. Yani $P = \{2, d_1, d_2\}$ ve $d_1 \in \{7, 6\}$.
- $|P \cap T_2| = 2$ olması için $P$ kümesi $2$'nin yanı sıra $T_2$'deki diğer iki rakamdan birini içermelidir. Yani $d_2 \in \{5, 4\}$.
- $P$ kümesinin rakamları birbirinden farklı olmalıdır.
- Olasılık 2.1: $d_1 = 7$ ve $d_2 = 5$ ise $P = \{2, 7, 5\}$.
- $|P \cap T_1| = |\{2, 7, 5\} \cap \{7, 2, 6\}| = |\{2, 7\}| = 2$. (Sağlar)
- $|P \cap T_2| = |\{2, 7, 5\} \cap \{5, 4, 2\}| = |\{2, 5\}| = 2$. (Sağlar)
- $|P \cap T_3| = |\{2, 7, 5\} \cap \{6, 5, 7\}| = |\{5, 7\}| = 2$. (Sağlar)
- Rakamlar birbirinden farklıdır ($2, 7, 5$). Bu durumda rakamlar toplamı $2+7+5 = 14$ olabilir.
- Olasılık 2.2: $d_1 = 7$ ve $d_2 = 4$ ise $P = \{2, 7, 4\}$.
- $|P \cap T_1| = |\{2, 7, 4\} \cap \{7, 2, 6\}| = |\{2, 7\}| = 2$. (Sağlar)
- $|P \cap T_2| = |\{2, 7, 4\} \cap \{5, 4, 2\}| = |\{2, 4\}| = 2$. (Sağlar)
- $|P \cap T_3| = |\{2, 7, 4\} \cap \{6, 5, 7\}| = |\{7\}| = 1$. (Sağlamaz)
- Olasılık 2.3: $d_1 = 6$ ve $d_2 = 5$ ise $P = \{2, 6, 5\}$.
- $|P \cap T_1| = |\{2, 6, 5\} \cap \{7, 2, 6\}| = |\{2, 6\}| = 2$. (Sağlar)
- $|P \cap T_2| = |\{2, 6, 5\} \cap \{5, 4, 2\}| = |\{2, 5\}| = 2$. (Sağlar)
- $|P \cap T_3| = |\{2, 6, 5\} \cap \{6, 5, 7\}| = |\{5, 6\}| = 2$. (Sağlar)
- Rakamlar birbirinden farklıdır ($2, 6, 5$). Bu durumda rakamlar toplamı $2+6+5 = 13$ olabilir.
- Olasılık 2.4: $d_1 = 6$ ve $d_2 = 4$ ise $P = \{2, 6, 4\}$.
- $|P \cap T_1| = |\{2, 6, 4\} \cap \{7, 2, 6\}| = |\{2, 6\}| = 2$. (Sağlar)
- $|P \cap T_2| = |\{2, 6, 4\} \cap \{5, 4, 2\}| = |\{2, 4\}| = 2$. (Sağlar)
- $|P \cap T_3| = |\{2, 6, 4\} \cap \{6, 5, 7\}| = |\{6\}| = 1$. (Sağlamaz)
- Gerçek şifrenin rakamları toplamı $13$ veya $14$ olabilir.
- Doğru Seçenek D'dır.