Sorunun Çözümü
- Grupta 6 kişi vardır. Tokalaşma sayıları: 1 kişi (1 tokalaşma), 2 kişi (2 tokalaşma), 3 kişi (3 tokalaşma).
- Toplam tokalaşma sayısı (kenar sayısı) $M = (1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3) / 2 = (1 + 4 + 9) / 2 = 14 / 2 = 7$'dir.
- Kişi gruplarını $P_1 = \{A\}$ (derece 1), $P_2 = \{B, C\}$ (derece 2), $P_3 = \{D, E, F\}$ (derece 3) olarak adlandıralım.
- $P_1 \cup P_2$ grubunun dereceler toplamı $d(A)+d(B)+d(C) = 1+2+2=5$'tir.
- $P_3$ grubunun dereceler toplamı $d(D)+d(E)+d(F) = 3+3+3=9$'dur.
- $E_{12}$ $P_1 \cup P_2$ içindeki kenar sayısı, $E_{33}$ $P_3$ içindeki kenar sayısı, $E_{12,3}$ ise $P_1 \cup P_2$ ile $P_3$ arasındaki kenar sayısı olsun.
- Dereceler toplamı formülünden: $2E_{12} + E_{12,3} = 5$ ve $2E_{33} + E_{12,3} = 9$'dur.
- Bu iki denklemden $2E_{33} - 2E_{12} = 4 \implies E_{33} - E_{12} = 2$ bağıntısı elde edilir.
- $A$'nın derecesi 1 olduğundan, $A$ ya $B$ veya $C$ ile ya da $D, E, F$'den biriyle tokalaşır.
- Durum 1: $A$, $B$ veya $C$ ile tokalaşır. Örneğin $A-B$ tokalaşması olsun. Bu durumda $E_{12} \ge 1$'dir.
- Eğer $B$ ve $C$ tokalaşmazsa ($x_{BC}=0$), o zaman $E_{12} = 1$ ($A-B$ kenarı).
$E_{33} - 1 = 2 \implies E_{33} = 3$'tür. Bu, $D, E, F$'nin kendi aralarında tokalaştığı (bir $K_3$ oluşturduğu) anlamına gelir.
Bu durumda geçerli bir grafik oluşturulabilir (Örnek: $A-B, B-D, C-E, C-F, D-E, D-F, E-F$).
Bu grafikte:
I. $A$ (1 tokalaşmalı kişi) $B$ (2 tokalaşmalı kişi) ile tokalaşmıştır. Bu ifade yanlıştır.
II. $B, C$ (2 tokalaşmalı kişiler) kendi aralarında tokalaşmamıştır. Bu ifade doğrudur.
III. $D, E, F$
- Eğer $B$ ve $C$ tokalaşmazsa ($x_{BC}=0$), o zaman $E_{12} = 1$ ($A-B$ kenarı).
$E_{33} - 1 = 2 \implies E_{33} = 3$'tür. Bu, $D, E, F$'nin kendi aralarında tokalaştığı (bir $K_3$ oluşturduğu) anlamına gelir.
Bu durumda geçerli bir grafik oluşturulabilir (Örnek: $A-B, B-D, C-E, C-F, D-E, D-F, E-F$).
Bu grafikte: