Sorunun Çözümü
- Verilen şekil bir ABCD dikdörtgenidir ve $AB = 20 cm$'dir.
- Şekilden 2 tane eş çeyrek daire kesilip atılıyor. Bu, boyalı bölgenin dikdörtgenin alanından bu iki çeyrek dairenin alanının çıkarılmasıyla elde edildiği anlamına gelir.
- Şekildeki boyalı bölge, DE kenarı ile A ve B merkezli yaylar (AE ve BE) arasında kalan alandır. Bu durumda, boyalı olmayan kısımlar çeyrek dairelerdir.
- Sol taraftaki çeyrek daire A merkezli, sağ taraftaki çeyrek daire B merkezlidir. Eş oldukları için yarıçapları aynıdır. Dikdörtgenin kenarları $AD$ ve $BC$ bu çeyrek dairelerin yarıçaplarıdır. Bu nedenle $AD = BC = r$ diyebiliriz.
- E noktası DC kenarı üzerindedir. A merkezli çeyrek dairenin yayı E noktasından geçtiği için $AE = r$'dir. Benzer şekilde, B merkezli çeyrek dairenin yayı E noktasından geçtiği için $BE = r$'dir.
- Bu durumda, ABE üçgeni bir ikizkenar üçgendir ($AE = BE = r$). AB kenarı $20 cm$'dir.
- E noktasından AB kenarına bir dikme indirirsek, bu dikme AB'yi iki eşit parçaya böler. Bu dikmenin uzunluğu dikdörtgenin yüksekliği olan $r$'ye eşittir. Dikmenin ayağına F dersek, $AF = FB = 10 cm$'dir ve $EF = r$'dir.
- AFE dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım: $AF^2 + EF^2 = AE^2$.
- Değerleri yerine koyarsak: $10^2 + r^2 = r^2$.
- Bu denklem $100 + r^2 = r^2$ ve dolayısıyla $100 = 0$ sonucunu verir. Bu bir çelişkidir.
- Bu çelişki, ya sorunun metninin ya da şeklinin yanlış yorumlandığını gösterir. Genellikle bu tür sorularda, E noktası DC'nin orta noktasıdır ve $AE = BE = AB/2$ veya $AE = BE = AD$ gibi bir ilişki vardır.
- Şekle dikkatlice bakıldığında, E noktasının DC kenarının orta noktası olduğu ve $AD = BC = r$ olduğu varsayılır. Ayrıca, yayların A ve B'den E'ye kadar uzandığı ve bu yayların yarıçaplarının dikdörtgenin yüksekliği olduğu kabul edilir. Bu durumda $AE = BE = r$.
- Eğer E, DC'nin orta noktası ise, $DE = EC = AB/2 = 20/2 = 10 cm$'dir.
- ADE dik üçgeninde ($D$ köşesi $90^\circ$): $AD^2 + DE^2 = AE^2$.
- $r^2 + 10^2 = r^2$. Bu da $100 = 0$ çelişkisini tekrar yaratır.
- Bu tür sorularda yaygın bir hata, yayların merkezlerinin A ve B olması durumunda yarıçapın $AD$ veya $BC$ olmasıdır. Ancak şekildeki yaylar A ve B'den