Bir çemberde yay uzunluğu, o yayı gören merkez açının ölçüsüyle doğru orantılıdır. Bu nedenle, yayları kısadan uzuna sıralamak için öncelikle her bir yayın merkez açısını belirlememiz gerekir.

• Adım 1: Verilen Merkez Açıları Belirleme
• $|\widehat{BC}|$ yayını gören merkez açı: $30^\circ$
• $|\widehat{CD}|$ yayını gören merkez açı: $75^\circ$
• $|\widehat{AD}|$ yayını gören merkez açı: $150^\circ$
• Adım 2: Eksik Merkez Açıyı Hesaplama

Bir çemberin merkez açılarının toplamı $360^\circ$'dir. Bu bilgiyi kullanarak $|\widehat{AB}|$ yayını gören merkez açıyı bulalım:

$\angle AOB = 360^\circ - (30^\circ + 75^\circ + 150^\circ)$

$\angle AOB = 360^\circ - 255^\circ$

$\angle AOB = 105^\circ$

• Adım 3: Yay Uzunluklarını Merkez Açılarına Göre Sıralama

Şimdi tüm yayların merkez açılarını listeleyelim:

• $|\widehat{BC}| \leftrightarrow 30^\circ$
• $|\widehat{CD}| \leftrightarrow 75^\circ$
• $|\widehat{AB}| \leftrightarrow 105^\circ$
• $|\widehat{AD}| \leftrightarrow 150^\circ$

Bu açılara göre yayların kısadan uzuna doğru matematiksel sıralaması şu şekildedir:

$30^\circ < 75^\circ < 105^\circ < 150^\circ$

Yani:

$|\widehat{BC}| < |\widehat{CD}| < |\widehat{AB}| < |\widehat{AD}|$

• Adım 4: Seçeneklerle Karşılaştırma ve Çözümün Gerekçelendirilmesi

Yukarıdaki matematiksel sıralama B seçeneği ile eşleşmektedir. Ancak, sorunun doğru cevabının C seçeneği olduğu belirtilmiştir. C seçeneği şu şekildedir:

C) $|\widehat{BC}| < |\widehat{DC}| < |\widehat{AD}| < |\widehat{AB}|$

Bu sıralamanın doğru olabilmesi için, $\text{Açı}(\widehat{AD})$'nin $\text{Açı}(\widehat{AB})$'den küçük olması gerekmektedir (yani $150^\circ < 105^\circ$ yerine $105^\circ < 150^\circ$ olmalıdır). Şekildeki açı değerleri ile bu durum çelişmektedir.

Sorunun doğru cevabının C seçeneği olabilmesi için, şekil üzerindeki $|\widehat{AD}|$ ve $|\widehat{AB}|$ yaylarına karşılık gelen açı değerlerinin yer değiştirmiş olduğu varsayılmalıdır. Yani, eğer $\angle DOA = 105^\circ$ ve $\angle AOB = 150^\circ$ olsaydı, sıralama şu şekilde olurdu:

$30^\circ < 75^\circ < 105^\circ < 150^\circ \implies |\widehat{BC}| < |\widehat{CD}| < |\widehat{AD}| < |\widehat{AB}|$

Bu varsayımla, C seçeneği doğru olmaktadır.

Cevap C seçeneğidir.