Bu problemde, iki farklı merkezli çemberdeki yay uzunlukları eşit verilmiş ve bizden bu çemberlerin yarıçapları oranını bulmamız isteniyor. Yay uzunluğu formülünü kullanarak adım adım çözüme ulaşabiliriz.

• Yay Uzunluğu Formülü: Bir çemberde, $r$ yarıçaplı ve $\theta$ merkez açılı bir yayın uzunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır: $$L = 2 \pi r \frac{\theta}{360^\circ}$$
• M merkezli çember için yay uzunluğunu hesaplayalım:
  • Yarıçapı $r_M$ olsun.
  • Merkez açısı $\theta_M = 60^\circ$.
  • KLN yayının uzunluğu: $$|KLN| = 2 \pi r_M \frac{60^\circ}{360^\circ} = 2 \pi r_M \frac{1}{6} = \frac{\pi r_M}{3}$$
• O merkezli çember için yay uzunluğunu hesaplayalım:
  • Yarıçapı $r_O$ olsun.
  • Merkez açısı $\theta_O = 100^\circ$.
  • ABC yayının uzunluğu: $$|ABC| = 2 \pi r_O \frac{100^\circ}{360^\circ} = 2 \pi r_O \frac{10}{36} = 2 \pi r_O \frac{5}{18} = \frac{5 \pi r_O}{9}$$
• Yay uzunluklarını eşitleyelim: Soruda $|KLN| = |ABC|$ olduğu belirtilmiştir. $$\frac{\pi r_M}{3} = \frac{5 \pi r_O}{9}$$
• Yarıçaplar oranını bulalım: Eşitliğin her iki tarafından $\pi$ değerini sadeleştirelim ve $r_M / r_O$ oranını yalnız bırakalım: $$\frac{r_M}{3} = \frac{5 r_O}{9}$$ Her iki tarafı 9 ile çarpalım: $$3 r_M = 5 r_O$$ Şimdi $r_M / r_O$ oranını bulmak için denklemi düzenleyelim: $$\frac{r_M}{r_O} = \frac{5}{3}$$

Buna göre, M merkezli çemberin yarıçapının O merkezli çemberin yarıçapına oranı 5/3'tür.

Cevap A seçeneğidir.