Bu soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Adım 1: Kenar Uzunluklarını Tanımlama

Başlangıçtaki büyük ABCD karesinin bir kenar uzunluğuna \(a\) diyelim. Yani, \(AB = BC = CD = DA = a\).

Kesilip çıkarılan AEFG karesinin bir kenar uzunluğuna \(b\) diyelim. Yani, \(AE = EF = FG = GA = b\).

• Adım 2: Kalan Boyalı Parçanın Çevresini Belirleme

Kalan boyalı parçanın çevresi, dış kenarlar ve iç kenarların toplamından oluşur. Bu kenarlar şunlardır:

• Dış kenarlar: \(GD\), \(DC\), \(CB\), \(BE\)
• İç kenarlar: \(EF\), \(FG\)

Bu kenarları \(a\) ve \(b\) cinsinden ifade edelim:

• \(GD = AD - AG = a - b\)
• \(DC = a\)
• \(CB = a\)
• \(BE = AB - AE = a - b\)
• \(EF = b\)
• \(FG = b\)
• Adım 3: Kalan Boyalı Parçanın Çevresini Hesaplama

Çevre (\(P\)) tüm bu kenarların toplamıdır:

\(P = GD + DC + CB + BE + EF + FG\)

\(P = (a - b) + a + a + (a - b) + b + b\)

Terimleri düzenlersek:

\(P = a - b + a + a + a - b + b + b\)

\(P = 4a - 2b + 2b\)

\(P = 4a\)

Görüldüğü gibi, kesilen karenin kenar uzunluğu (\(b\)) çevreyi etkilemiyor, çünkü içe doğru eklenen \(EF\) ve \(FG\) kenarları, dıştan eksilen \(AG\) ve \(AE\) kenarlarının yerine geçiyor.

• Adım 4: ABCD Karesinin Kenar Uzunluğunu Bulma

Soruda kalan boyalı karton parçasının çevresi 36 cm olarak verilmiştir. Yani:

\(4a = 36\)

\(a = \frac{36}{4}\)

\(a = 9\) cm

Başlangıçtaki ABCD karesinin bir kenar uzunluğu 9 cm'dir.

• Adım 5: ABCD Karesinin Alanını Hesaplama

Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun karesidir. ABCD karesinin alanı:

\(Alan_{ABCD} = a^2\)

\(Alan_{ABCD} = 9^2\)

\(Alan_{ABCD} = 81\) santimetrekare

Cevap A seçeneğidir.