Verilen problemde, tüm çokgenlerin düzgün çokgen olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, aşağıdaki adımları izleyerek $m(\hat{RÊP})$ açısını bulabiliriz:

• Adım 1: Düzgün Sekizgenin İç Açısını Hesaplama

Yukarıdaki şekil bir düzgün sekizgen (ABCDEFGH) içermektedir. Bir düzgün $n$-genin bir iç açısı şu formülle hesaplanır: $ \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} $.

Sekizgen için $n=8$ olduğundan, bir iç açısı:

$$ m(\text{iç açı}) = \frac{(8-2) \times 180^\circ}{8} = \frac{6 \times 180^\circ}{8} = \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ $$

Bu nedenle, sekizgenin E köşesindeki iç açısı $m(\angle FED) = 135^\circ$ dir.

• Adım 2: Eşkenar Üçgenlerin Açılarını Belirleme

Problemde "bütün çokgenler düzgün çokgen" ifadesi geçtiği için, $\triangle FRE$ ve $\triangle DPE$ üçgenleri de düzgün çokgenlerdir. Bir düzgün üçgen eşkenar üçgendir ve tüm iç açıları $60^\circ$ dir.

Bu durumda:

• $m(\angle FER) = 60^\circ$ ( $\triangle FRE$ eşkenar üçgen olduğu için)
• $m(\angle DEP) = 60^\circ$ ( $\triangle DPE$ eşkenar üçgen olduğu için)
• Adım 3: E Noktası Etrafındaki Açıları Kullanarak $m(\hat{RÊP})$'i Bulma

E noktası etrafındaki açılar $m(\angle FER)$, $m(\angle FED)$ ve $m(\angle DEP)$'dir. Bu üç açı ve $m(\hat{RÊP})$ açısı, E noktası etrafında tam bir açıyı ($360^\circ$) oluşturur.

$$ m(\hat{RÊP}) = 360^\circ - (m(\angle FER) + m(\angle FED) + m(\angle DEP)) $$

Değerleri yerine koyarsak:

$$ m(\hat{RÊP}) = 360^\circ - (60^\circ + 135^\circ + 60^\circ) $$

$$ m(\hat{RÊP}) = 360^\circ - (255^\circ) $$

$$ m(\hat{RÊP}) = 105^\circ $$

Cevap A seçeneğidir.