Verilen problemde, iki düzgün çokgenin ortak bir kenarı bulunmaktadır ve bizden bu çokgenlerin birleşimiyle oluşan bir üçgendeki açılardan birini bulmamız istenmektedir.

• Adım 1: Düzgün Dokuzgenin İç Açısını Hesaplama

Düzgün bir n-genin iç açısı \( \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \) formülü ile bulunur. ABCDEFGH K düzgün bir dokuzgen (n=9) olduğuna göre, iç açısı:

\( m(\widehat{ABC}) = \frac{(9-2) \times 180^\circ}{9} = \frac{7 \times 180^\circ}{9} = 7 \times 20^\circ = 140^\circ \)

• Adım 2: Düzgün Beşgenin İç Açısını Hesaplama

ABLMN düzgün bir beşgen (n=5) olduğuna göre, iç açısı:

\( m(\widehat{ABL}) = \frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = \frac{3 \times 180^\circ}{5} = 3 \times 36^\circ = 108^\circ \)

• Adım 3: \( m(\widehat{CBL}) \) Açısını Bulma

Şekilde görüldüğü gibi, düzgün dokuzgenin iç bölgesi AB kenarının bir tarafında (yukarısında) ve düzgün beşgenin iç bölgesi AB kenarının diğer tarafında (aşağısında) yer almaktadır. Bu durumda, B noktasındaki \( \widehat{CBL} \) açısı, BC ve BL kenarlarının AB doğrusuyla yaptığı açıların toplamıdır.

• BC kenarının AB doğrusuyla yaptığı açı: \( 180^\circ - m(\widehat{ABC}) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \)
• BL kenarının AB doğrusuyla yaptığı açı: \( 180^\circ - m(\widehat{ABL}) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \)

Bu durumda, \( m(\widehat{CBL}) = 40^\circ + 72^\circ = 112^\circ \)

• Adım 4: Üçgen BLC'nin Özelliklerini Belirleme

Düzgün dokuzgenin tüm kenarları eşit olduğundan \( |AB| = |BC| \). Düzgün beşgenin tüm kenarları eşit olduğundan \( |AB| = |BL| \). Bu iki eşitlikten \( |BC| = |BL| \) sonucuna varırız. Bu da BLC üçgeninin ikizkenar bir üçgen olduğunu gösterir.

İkizkenar üçgen BLC'de, eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir: \( m(\widehat{BLC}) = m(\widehat{BCL}) = x \).

• Adım 5: x Açısını Hesaplama

Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, BLC üçgeninde:

\( m(\widehat{CBL}) + m(\widehat{BLC}) + m(\widehat{BCL}) = 180^\circ \)

\( 112^\circ + x + x = 180^\circ \)

\( 112^\circ + 2x = 180^\circ \)

\( 2x = 180^\circ - 112^\circ \)

\( 2x = 68^\circ \)

\( x = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ \)

Cevap D seçeneğidir.