Şekildeki ABCDE düzgün beşgen olduğuna göre m(BEC) açısını bulmak için aşağıdaki adımları izleyelim:
- Adım 1: Düzgün beşgenin iç açısını hesaplayın.
Bir düzgün n-genin her bir iç açısı \(\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}\) formülü ile bulunur. Düzgün beşgen için (n=5):
\[ \text{İç Açı} = \frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = \frac{3 \times 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ \]
Yani, düzgün beşgenin her bir iç açısı \(108^\circ\)'dir. Bu durumda, \(m(\angle ABC) = m(\angle BCD) = m(\angle CDE) = m(\angle DEA) = m(\angle EAB) = 108^\circ\).
- Adım 2: \(\triangle CDE\) üçgenini inceleyin.
ABCDE bir düzgün beşgen olduğu için tüm kenar uzunlukları eşittir: \(AB = BC = CD = DE = EA\). Bu nedenle, \(\triangle CDE\) bir ikizkenar üçgendir (\(CD = DE\)).
\(m(\angle CDE) = 108^\circ\). İkizkenar üçgenin taban açıları eşit olduğundan:
\[ m(\angle DCE) = m(\angle DEC) = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ \]
- Adım 3: \(m(\angle BCE)\) açısını bulun.
\(\angle BCD\) açısı düzgün beşgenin bir iç açısıdır, yani \(m(\angle BCD) = 108^\circ\). Bu açı, \(\angle BCE\) ve \(\angle ECD\) açılarının toplamıdır:
\[ m(\angle BCD) = m(\angle BCE) + m(\angle ECD) \]
Bulduğumuz değerleri yerine yazarsak:
\[ 108^\circ = m(\angle BCE) + 36^\circ \]
Buradan \(m(\angle BCE)\) açısını hesaplarız:
\[ m(\angle BCE) = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ \]
- Adım 4: \(\triangle ABE\) üçgenini inceleyin.
Benzer şekilde, \(\triangle ABE\) de bir ikizkenar üçgendir (\(AB = AE\)).
\(m(\angle EAB) = 108^\circ\). Taban açıları eşit olduğundan:
\[ m(\angle ABE) = m(\angle AEB) = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ \]
- Adım 5: \(m(\angle CBE)\) açısını bulun.
\(\angle ABC\) açısı düzgün beşgenin bir iç açısıdır, yani \(m(\angle ABC) = 108^\circ\). Bu açı, \(\angle ABE\) ve \(\angle EBC\) açılarının toplamıdır:
\[ m(\angle ABC) = m(\angle ABE) + m(\angle EBC) \]
Bulduğumuz değerleri yerine yazarsak:
\[ 108^\circ = 36^\circ + m(\angle EBC) \]
Buradan \(m(\angle EBC)\) açısını hesaplarız:
\[ m(\angle EBC) = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ \]
- Adım 6: \(\triangle BCE\) üçgeninde \(m(\angle BEC)\) açısını bulun.
Şimdi \(\triangle BCE\) üçgenine odaklanalım. Bu üçgenin iki açısını bulduk:
- \(m(\angle BCE) = 72^\circ\)
- \(m(\angle EBC) = 72^\circ\)
Bir üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan:
\[ m(\angle BEC) = 180^\circ - (m(\angle BCE) + m(\angle EBC)) \]
\[ m(\angle BEC) = 180^\circ - (72^\circ + 72^\circ) \]
\[ m(\angle BEC) = 180^\circ - 144^\circ \]
\[ m(\angle BEC) = 36^\circ \]
Cevap A seçeneğidir.