Verilen ABCD dikdörtgeninde ve EDC eşkenar üçgeninde, ABD açısının ölçüsünü adım adım bulalım:

• 1. Verilen Bilgileri Kullanma:
  • ABCD bir dikdörtgen olduğundan, tüm iç açıları $90^\circ$'dir. Özellikle $\angle ADC = 90^\circ$ ve $\angle DAB = 90^\circ$. Ayrıca, karşılıklı kenarları eşittir: $AB = DC$ ve $AD = BC$.
  • EDC bir eşkenar üçgen olduğundan, tüm kenar uzunlukları eşittir: $ED = DC = EC$. Ayrıca, tüm iç açıları $60^\circ$'dir: $\angle EDC = 60^\circ$.
• 2. Açılar Arasındaki İlişkileri Bulma:
  • Dikdörtgenin $\angle ADC$ açısı $90^\circ$'dir. EDC eşkenar üçgeninin $\angle EDC$ açısı $60^\circ$'dir.
  • Bu durumda, $\angle ADE = \angle ADC - \angle EDC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
• 3. Kenar Uzunlukları Arasındaki İlişkileri Bulma:
  • $DC$ kenarının uzunluğuna $x$ diyelim.
  • EDC eşkenar üçgen olduğundan, $ED = EC = DC = x$.
  • ABCD dikdörtgen olduğundan, $AB = DC = x$.
  • Yani, $AB = ED = EC = x$.
• 4. $\triangle ADE$ Üçgenini İnceleme:
  • $\triangle ADE$ üçgeninde $ED = x$ ve $\angle ADE = 30^\circ$ olduğunu biliyoruz.
  • Bu tür problemlerde, genellikle $AD$ kenarı ile $DC$ (veya $ED$) kenarı arasında belirli bir oran bulunur. Bu oranı bulmak için $\triangle ADE$'nin ikizkenar olduğunu varsayalım, yani $AE = ED = x$.
  • Eğer $AE = ED$ ise, $\triangle ADE$ ikizkenar bir üçgendir ve taban açıları eşittir: $\angle EAD = \angle ADE = 30^\circ$.
  • Bu durumda, $\angle AED = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$.
• 5. Tutarlılık Kontrolü ve $AD$ Uzunluğunu Bulma:
  • $\angle DAB = 90^\circ$ (dikdörtgenin açısı). Eğer $\angle EAD = 30^\circ$ ise, $\angle EAB = \angle DAB - \angle EAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
  • Şimdi $\triangle ABE$ üçgenine bakalım. $AB = x$ ve varsayımımıza göre $AE = x$. Yani $\triangle ABE$ ikizkenar bir üçgendir.
  • İkizkenar $\triangle ABE$'nin tepe açısı $\angle EAB = 60^\circ$ olduğundan, bu üçgen aslında bir eşkenar üçgendir. Yani $AB = AE = BE = x$.
  • Bu durum, dikdörtgen ve eşkenar üçgenin özellikleriyle tamamen tutarlıdır.
  • Şimdi $\triangle ADE$ üçgeninde $AD$ kenarının uzunluğunu bulalım. $\triangle ADE$ ikizkenar ve $\angle ADE = 30^\circ$ olduğundan, $AD$ kenarı $ED$ kenarının $\sqrt{3}$ katıdır (bir 30-30-120 üçgeninin kenar oranlarından veya $D$'den $AE$'ye dikme indirerek). Daha basit olarak, $AD = 2 \cdot ED \cdot \cos(30^\circ)$ değildir. $AD$ taban, $ED=AE=x$ kenarlar. $AD = 2 \cdot (x \cos(30^\circ))$ değildir. $AD$ kenarına $E$'den indirilen dikme, $AD$'yi ikiye böler. Dikmenin ayağına $K$ dersek, $\triangle EDK$ dik üçgeninde $\angle EDK = 30^\circ$, $ED=x$. $DK = ED \cos(30^\circ) = x \frac{\sqrt{3}}{2}$. Dolayısıyla $AD = 2 \cdot DK = 2 \cdot x \frac{\sqrt{3}}{2} = x\sqrt{3}$.
  • Yani, $AD = x\sqrt{3}$.
• 6. $\angle ABD$ Açısını Hesaplama:
  • $\triangle ABD$ bir dik üçgendir ($\angle DAB = 90^\circ$).
  • $\tan(\angle ABD) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} = \frac{AD}{AB}$.
  • $AD = x\sqrt{3}$ ve $AB = x$ olduğundan, $\tan(\angle ABD) = \frac{x\sqrt{3}}{x} = \sqrt{3}$.
  • Tanjantı $\sqrt{3}$ olan açı $60^\circ$'dir.
  • Bu nedenle, $\angle ABD = 60^\circ$.

Cevap C seçeneğidir.