Verilen problemi adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Kare Özelliklerini Kullanma:

  ABCD bir kare olduğu için tüm iç açıları $90^\circ$'dir. Dolayısıyla, $m(\widehat{BCD}) = 90^\circ$ ve $m(\widehat{ADC}) = 90^\circ$ (veya $m(\widehat{CDE}) = 90^\circ$). Ayrıca, tüm kenar uzunlukları eşittir (örneğin, $BC = CD$).

• 2. $\triangle BFC$ Üçgeninde Açı Hesaplama:

  Şekilde, $CB \perp AB$ olduğu için $m(\widehat{CBF}) = 90^\circ$'dir. $\triangle BFC$ bir dik üçgendir. Verilen $m(\widehat{AFC}) = 60^\circ$ olduğundan, $\triangle BFC$'deki $m(\widehat{BFC}) = 60^\circ$'dir.

  Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan, $\triangle BFC$ için:

  $m(\widehat{BCF}) + m(\widehat{CBF}) + m(\widehat{BFC}) = 180^\circ$

  $m(\widehat{BCF}) + 90^\circ + 60^\circ = 180^\circ$

  $m(\widehat{BCF}) + 150^\circ = 180^\circ$

  $m(\widehat{BCF}) = 30^\circ$.

• 3. C Noktasındaki Açıları İlişkilendirme:

  Kare olduğu için $m(\widehat{BCD}) = 90^\circ$'dir. Ayrıca, soruda $m(\widehat{ECF}) = 90^\circ$ olarak verilmiştir.

  Açıları aşağıdaki gibi ifade edelim:

  • $m(\widehat{DCE}) = \alpha$ (Aradığımız açının bir parçası)
  • $m(\widehat{ECB}) = \beta$
  • $m(\widehat{BCF}) = 30^\circ$ (Yukarıda hesapladık)

  Şekilden ve kare özelliğinden dolayı:

  $m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{DCE}) + m(\widehat{ECB}) \implies \alpha + \beta = 90^\circ$ (Denklem 1)

  Verilen $m(\widehat{ECF}) = 90^\circ$ ve şekle göre:

  $m(\widehat{ECF}) = m(\widehat{ECB}) + m(\widehat{BCF}) \implies \beta + 30^\circ = 90^\circ$ (Denklem 2)

  Denklem 2'den $\beta$ açısını bulalım:

  $\beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

  Şimdi $\beta = 60^\circ$ değerini Denklem 1'e yerine koyalım:

  $\alpha + 60^\circ = 90^\circ$

  $\alpha = 30^\circ$.

  Yani, $m(\widehat{DCE}) = 30^\circ$.

• 4. $\triangle DEC$ Üçgeninde $m(\widehat{DEC})$ Açısını Bulma:

  Şimdi $\triangle DEC$ üçgenine odaklanalım. Bu üçgende bilinen açılar:

  • $m(\widehat{CDE}) = 90^\circ$ (Karenin D köşesindeki açısı)
  • $m(\widehat{DCE}) = 30^\circ$ (Yukarıda hesapladık)

  Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan:

  $m(\widehat{DEC}) + m(\widehat{CDE}) + m(\widehat{DCE}) = 180^\circ$

  $m(\widehat{DEC}) + 90^\circ + 30^\circ = 180^\circ$

  $m(\widehat{DEC}) + 120^\circ = 180^\circ$

  $m(\widehat{DEC}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Cevap C seçeneğidir.