Bu ders notu, 7. sınıf öğrencilerinin çokgenler, düzgün çokgenler, çokgenlerin köşegenleri ile iç ve dış açıları konularındaki bilgilerini pekiştirmek ve sınavlara hazırlanırken başvurabilecekleri kapsamlı bir tekrar sağlamak amacıyla hazırlanmıştır. Testteki sorular, bu temel geometrik kavramları farklı senaryolarda uygulayabilme becerisini ölçmektedir.

Çokgen Nedir?

• En az üç doğru parçasının uç uca eklenmesiyle oluşan, kapalı ve kenarları birbirini kesmeyen düzlemsel şekillere çokgen denir.
• Çokgenler, kenar sayılarına göre adlandırılır: üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen, sekizgen gibi.
• Bir çokgenin kenar sayısı ne ise, köşe sayısı ve iç açı sayısı da odur. Bu sayıya genellikle n denir.

Düzgün Çokgenler

• Tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan ve tüm iç açı ölçüleri birbirine eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.
• Örnekler: Eşkenar üçgen (düzgün üçgen), kare (düzgün dörtgen), düzgün beşgen, düzgün altıgen.
• ⚠️ Dikkat: Dikdörtgenin tüm iç açıları eşit (90°) olmasına rağmen, tüm kenarları eşit olmadığı için düzgün çokgen değildir. Aynı şekilde eşkenar dörtgenin tüm kenarları eşit olmasına rağmen, tüm iç açıları eşit olmadığı için düzgün çokgen değildir.
• 💡 İpucu: Düzgün çokgenler simetriktir ve genellikle estetik tasarımlarda (fayanslar, mimari yapılar) kullanılır.

Çokgenlerin Köşegenleri

• Bir çokgende, ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir.
• Bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı: Bir n kenarlı çokgende, bir köşeden kendisine ve komşu iki köşesine köşegen çizilemez. Bu yüzden bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı \(\mathbf{n-3}\) formülüyle bulunur.
• Toplam köşegen sayısı: Bir n kenarlı çokgenin toplam köşegen sayısı \(\mathbf{\frac{n(n-3)}{2}}\) formülüyle bulunur.
• Örnek: Bir sekizgenin (\(n=8\)) bir köşesinden \(8-3=5\) adet köşegen çizilebilir. Toplam köşegen sayısı ise \(\frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = \frac{40}{2} = 20\) adettir.

Çokgenlerin İç Açıları

• Bir çokgenin iç bölgesinde kalan açılara iç açı denir.
• İç açılar toplamı: Bir n kenarlı çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı \(\mathbf{(n-2) \times 180^\circ}\) formülüyle bulunur.
• Örnek: Bir beşgenin (\(n=5\)) iç açıları toplamı \((5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ\) dir.
• Düzgün çokgenin bir iç açısı: Bir düzgün n kenarlı çokgenin bir iç açısının ölçüsü \(\mathbf{\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}}\) formülüyle bulunur.
• Örnek: Düzgün sekizgenin (\(n=8\)) bir iç açısı \(\frac{(8-2) \times 180^\circ}{8} = \frac{6 \times 180^\circ}{8} = \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ\) dir.

Çokgenlerin Dış Açıları

• Bir çokgenin bir kenarını uzatarak oluşturulan açıya dış açı denir.
• Dış açılar toplamı: Tüm çokgenlerin (düzgün olsun veya olmasın) dış açılarının ölçüleri toplamı her zaman \(\mathbf{360^\circ}\) dir. Bu, çok önemli ve sabit bir bilgidir! 🌍
• Düzgün çokgenin bir dış açısı: Bir düzgün n kenarlı çokgenin bir dış açısının ölçüsü \(\mathbf{\frac{360^\circ}{n}}\) formülüyle bulunur.
• Örnek: Düzgün beşgenin (\(n=5\)) bir dış açısı \(\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ\) dir.
• İç açı - dış açı ilişkisi: Bir çokgenin herhangi bir köşesindeki iç açı ile dış açının toplamı her zaman \(\mathbf{180^\circ}\) dir. Çünkü bu iki açı bir doğru açı oluşturur.
• 💡 İpucu: Düzgün çokgen sorularında bazen dış açıyı bulmak, iç açıyı bulmaktan daha kolay ve hızlı olabilir. Örneğin, düzgün altıgenin dış açısı \(360/6 = 60^\circ\), iç açısı ise \(180-60 = 120^\circ\) dir.

Sık Karşılaşılan Düzgün Çokgenler ve Açıları

• Eşkenar Üçgen (Düzgün Üçgen, n=3):
  • İç açılar toplamı: \(180^\circ\)
  • Bir iç açısı: \(60^\circ\)
  • Bir dış açısı: \(120^\circ\)
• Kare (Düzgün Dörtgen, n=4):
  • İç açılar toplamı: \(360^\circ\)
  • Bir iç açısı: \(90^\circ\)
  • Bir dış açısı: \(90^\circ\)
• Düzgün Beşgen (n=5):
  • İç açılar toplamı: \(540^\circ\)
  • Bir iç açısı: \(108^\circ\)
  • Bir dış açısı: \(72^\circ\)
• Düzgün Altıgen (n=6):
  • İç açılar toplamı: \(720^\circ\)
  • Bir iç açısı: \(120^\circ\)
  • Bir dış açısı: \(60^\circ\)
• Düzgün Sekizgen (n=8):
  • İç açılar toplamı: \(1080^\circ\)
  • Bir iç açısı: \(135^\circ\)
  • Bir dış açısı: \(45^\circ\)

Açı Hesaplamalarında Temel Bilgiler

• Tam Açı: Bir nokta etrafındaki tüm açıların toplamı \(\mathbf{360^\circ}\) dir. Geometrik şekillerin birleştiği noktalarda bu kural çok işe yarar. 🔄
• Doğru Açı: Bir doğru üzerindeki açı \(\mathbf{180^\circ}\) dir.
• Üçgenin İç Açıları Toplamı: Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamı \(\mathbf{180^\circ}\) dir.

Geometrik Örüntüler

• Bazı sorularda, çokgenlerin kenar sayıları veya iç açıları toplamları belirli bir kurala göre artan veya azalan bir örüntü oluşturabilir.
• Bu tür sorularda ilk birkaç adımı inceleyerek örüntünün kuralını (genellikle aritmetik bir dizi) bulmak gerekir.
• Örnek: Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\), dörtgenin \(360^\circ\), beşgenin \(540^\circ\)... Bu bir aritmetik dizidir ve her adımda \(180^\circ\) artar. n. adımdaki çokgenin kenar sayısı, ilk adımdaki çokgenin kenar sayısına göre belirlenir.

Genel İpuçları ve Stratejiler

• ✍️ Formülleri Ezberle ve Anla: Özellikle köşegen, iç açı ve dış açı formüllerini iyi bilmek, soruları hızlı çözmenin anahtarıdır. Ancak sadece ezberlemek yerine, neden bu formüllerin kullanıldığını anlamak kalıcı öğrenmeyi sağlar.
• 🔍 Şekilleri Dikkatlice İncele: Verilen şekillerde hangi çokgenlerin olduğunu, düzgün olup olmadıklarını, kenarların birleşme noktalarını ve istenen açının nerede olduğunu iyi belirle.
• 📐 Yardımcı Çizgiler Çiz: Karmaşık şekillerde bazen ekstra köşegenler veya kenar uzantıları çizmek, problemi daha basit üçgenlere veya dörtgenlere ayırarak çözüme ulaşmanı kolaylaştırabilir.
• 🧩 Parça Bütün İlişkisi Kur: Özellikle birleşim noktalarındaki açılarda (tam açı 360°, doğru açı 180°), bildiğin açıları kullanarak bilinmeyen açıyı bulabilirsin.
• 🔢 Sayı Örüntülerinde Dikkatli Ol: Örüntü sorularında ilk terimin ne olduğunu ve artış miktarını doğru tespit etmek çok önemlidir.
• ✔️ Cevabını Kontrol Et: Bulduğun sonucun mantıklı olup olmadığını kontrol et. Örneğin, bir iç açının 180 dereceden büyük çıkması bir hata yaptığını gösterir.