Verilen problemi adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:
- 1. Düzgün Altıgenin İç Açısını Bulma:
Bir düzgün n-genin bir iç açısının ölçüsü \(\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}\) formülü ile bulunur. Düzgün altıgen için \(n=6\) olduğundan, bir iç açısı:
\[ m(\angle BCD) = \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 4 \times 30^\circ = 120^\circ \] Yani, düzgün altıgenin C köşesindeki iç açı \(m(\angle BCD) = 120^\circ\)'dir.
- 2. Karenin İç Açısını Bulma:
BGH C bir kare olduğundan, tüm iç açıları \(90^\circ\)'dir.
\[ m(\angle BCH) = 90^\circ \]
- 3. \(\angle DCH\) Açısını Bulma:
Şekilde görüldüğü gibi, C noktasında altıgenin CD kenarı ile karenin CH kenarı arasındaki açı \(\angle DCH\)'dir. Bu açı, altıgenin iç açısı \(\angle BCD\) ile karenin iç açısı \(\angle BCH\)'nin toplamının \(360^\circ\)'den çıkarılmasıyla bulunur (çünkü bu iki açı C noktasında birleşerek bir tam açı oluşturur ve \(\angle DCH\) bu iki açının dışındaki açıdır).
\[ m(\angle DCH) = 360^\circ - (m(\angle BCD) + m(\angle BCH)) \] \[ m(\angle DCH) = 360^\circ - (120^\circ + 90^\circ) \] \[ m(\angle DCH) = 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ \]
- 4. CDH Üçgeninin Kenar Uzunluklarını Belirleme:
ABCDEF düzgün altıgen olduğundan tüm kenar uzunlukları eşittir. Bu kenar uzunluğuna 's' diyelim. Yani, \(CD = BC = s\).
BGH C kare olduğundan tüm kenar uzunlukları eşittir. Yani, \(CH = BC = s\).
Bu durumda, CDH üçgeninde \(CD = CH = s\) olur. Bu da CDH üçgeninin bir ikizkenar üçgen olduğunu gösterir.
- 5. \(\angle CDH\) Açısını Hesaplama:
CDH ikizkenar üçgeninde, \(CD = CH\) olduğundan taban açıları olan \(m(\angle CDH)\) ve \(m(\angle CHD)\) birbirine eşittir.
Bir üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\)'dir:
\[ m(\angle CDH) + m(\angle CHD) + m(\angle DCH) = 180^\circ \] \[ m(\angle CDH) + m(\angle CDH) + 150^\circ = 180^\circ \] \[ 2 \times m(\angle CDH) = 180^\circ - 150^\circ \] \[ 2 \times m(\angle CDH) = 30^\circ \] \[ m(\angle CDH) = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ \]
Cevap C seçeneğidir.