🎓 7. Sınıf Çokgenler, Düzgün Çokgenler, Çokgenlerin Köşegenleri ile İç ve Dış Açıları Test 6 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 7. sınıf matematik müfredatında yer alan çokgenler, düzgün çokgenler, çokgenlerin iç ve dış açıları ile köşegenleri konularını kapsamaktadır. Çokgenlerin temel özelliklerinden başlayarak, açı hesaplamalarına ve farklı çokgenlerin bir araya geldiği durumlara kadar önemli bilgileri ve çözüm ipuçlarını bulacaksın. Sınavlara hazırlanırken veya konuları tekrar ederken bu notları kullanabilirsin. 🚀

Çokgen Nedir? 🤔

• En az üç doğru parçasının uç uca eklenmesiyle oluşan kapalı şekillere çokgen denir.
• Bir çokgenin kenar sayısı kadar köşesi ve açısı vardır.
• Örnekler: Üçgen (3 kenar), dörtgen (4 kenar), beşgen (5 kenar), altıgen (6 kenar), yedigen (7 kenar), sekizgen (8 kenar), dokuzgen (9 kenar), ongen (10 kenar) ve daha fazlası...

Çokgenlerin Temel Elemanları 📏

• Kenar: Çokgeni oluşturan doğru parçalarıdır.
• Köşe: İki kenarın birleştiği noktalardır.
• İç Açı: Çokgenin iç bölgesinde, iki kenar arasında kalan açılardır.
• Dış Açı: Bir kenarın uzantısı ile komşu kenar arasında kalan açılardır.
• 💡 İpucu: Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı her zaman $180^\circ$'dir.
• Köşegen: Ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır.
• 💡 İpucu: Bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı $n-3$'tür (n, çokgenin kenar sayısıdır).
• ⚠️ Dikkat: Köşegenler, çokgenin içinden geçer. Kenarlar veya açılar köşegen değildir.

İç Açılar ve Dış Açılar Toplamı 📐

• Bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı:
• Formül: $(n-2) \times 180^\circ$ (Burada n, çokgenin kenar sayısıdır.)
• Örnek: Bir altıgenin iç açılar toplamı: $(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ$.
• Örnek: Bir yedigenin iç açılar toplamı: $(7-2) \times 180^\circ = 5 \times 180^\circ = 900^\circ$.
• Örnek: Bir dörtgenin iç açılar toplamı: $(4-2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ$.
• Bir çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı:
• Tüm çokgenler için sabittir ve her zaman $360^\circ$'dir.
• 💡 İpucu: Bu bilgi, özellikle düzgün çokgenlerde bir dış açıyı bulmak için çok kullanışlıdır.
• İç açılar toplamı ile dış açılar toplamı arasındaki ilişki:
• Bir çokgenin tüm iç açılarının toplamı ile tüm dış açılarının toplamının toplamı $n \times 180^\circ$ olur.
• $(n-2) \times 180^\circ + 360^\circ = n \times 180^\circ$.

Düzgün Çokgenler ✨

• Tanım: Tüm kenar uzunlukları birbirine eşit ve tüm iç açılarının ölçüleri birbirine eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.
• Özellikleri:
• Tüm iç açıları eşittir.
• Tüm dış açıları eşittir.
• Tüm kenar uzunlukları eşittir.
• Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü:
• Formül: $\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$
• Örnek: Düzgün beşgenin bir iç açısı: $\frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = \frac{3 \times 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$.
• Örnek: Düzgün altıgenin bir iç açısı: $\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$.
• Bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü:
• Formül: $\frac{360^\circ}{n}$
• Örnek: Düzgün beşgenin bir dış açısı: $\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.
• Örnek: Düzgün altıgenin bir dış açısı: $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$.
• 💡 İpucu: Bir iç açıyı bulmak yerine önce dış açıyı bulup $180^\circ$'den çıkararak da iç açıyı bulabilirsin. Bu genellikle daha pratik bir yöntemdir. Örneğin, düzgün bir çokgenin bir dış açısı $18^\circ$ ise, kenar sayısı $n = \frac{360^\circ}{18^\circ} = 20$'dir (Yirmigen).

Çokgenlerin Birleştirilmesi ve Açı Hesaplamaları 🧩

• Farklı çokgenler bir araya geldiğinde, ortak kenarlar ve köşeler oluşur. Bu noktalarda oluşan açıları hesaplamak için çokgenlerin iç ve dış açı özelliklerini kullanırız.
• Örnek Durum 1: Ortak Kenarlı Düzgün Çokgenler
• İki düzgün çokgenin bir kenarı ortak olduğunda, bu ortak kenarın etrafındaki açılar genellikle $360^\circ$'ye tamamlanır.
• Örneğin, bir düzgün sekizgenin bir iç açısı $135^\circ$, bir düzgün altıgenin bir iç açısı $120^\circ$'dir. Bu iki çokgen bir kenarları ortak olacak şekilde birleştirildiğinde, birleşim noktasındaki boşluk açısı $360^\circ - (135^\circ + 120^\circ) = 360^\circ - 255^\circ = 105^\circ$ olur.
• Örnek Durum 2: Kare ve Düzgün Çokgen Birleşimi
• Kare, düzgün bir dörtgendir ve her bir iç açısı $90^\circ$'dir.
• Düzgün altıgenin bir iç açısı $120^\circ$'dir. Eğer bir düzgün altıgen ile bir kare bir kenarları ortak olacak şekilde birleştirilirse, birleşim noktasında oluşan açılar ve kenar uzunlukları dikkate alınarak yeni şekillerin açıları hesaplanabilir.
• 💡 İpucu: Düzgün çokgenlerin kenar uzunlukları eşit olduğu için, birleştirmelerde oluşan üçgenlerin ikizkenar veya eşkenar üçgen olup olmadığını kontrol et. Bu, bilinmeyen açıları bulmanda çok yardımcı olur.
• Açıortay Kullanımı:
• Bazı sorularda, bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçaları (açıortaylar) verilebilir. Bu durumda, verilen açıortaylar sayesinde bilinmeyen açıları daha kolay bulabiliriz. Örneğin, bir dörtgende iki köşedeki iç açıların açıortayları kesişiyorsa, bu kesişim noktasında oluşan açıyı bulmak için üçgenin iç açıları toplamı kuralı ($180^\circ$) ve dörtgenin iç açıları toplamı kuralı ($360^\circ$) birlikte kullanılabilir.

Bu ders notu, çokgenler konusundaki temel bilgileri ve sıkça karşılaşılan problem tiplerini özetlemektedir. Formülleri iyi öğrenmek ve bol bol pratik yapmak, bu konudaki başarını artıracaktır. Unutma, her soruyu dikkatlice okumak ve şekilleri doğru yorumlamak çok önemli!