Verilen bilgilere göre, iki eşit uzunluktaki ipten biriyle bir beşgen, diğeriyle bir altıgen oluşturulmuştur. İplerin sarkan kısımlarının uzunlukları verilmiştir. Oluşturulan çokgenlerin kenar uzunlukları doğal sayıdır ve iplerin uzunluğu 50 cm'den kısadır.

• Beşgenin bir kenar uzunluğunu $a$ (cm) ile gösterelim. Beşgenin çevresi $5a$ olur. İpin sarkan kısmı 3 cm olduğuna göre, beşgeni oluşturan ipin toplam uzunluğu $L_1 = 5a + 3$ cm'dir.
• Altıgenin bir kenar uzunluğunu $b$ (cm) ile gösterelim. Altıgenin çevresi $6b$ olur. İpin sarkan kısmı 4 cm olduğuna göre, altıgeni oluşturan ipin toplam uzunluğu $L_2 = 6b + 4$ cm'dir.

İplerin uzunlukları eşit olduğu için:

$$L_1 = L_2$$

$$5a + 3 = 6b + 4$$

$$5a = 6b + 1$$

$a$ ve $b$ birer doğal sayı (pozitif tam sayı) olmalıdır. $5a$ ifadesi 5'in katı olduğundan, $6b + 1$ ifadesi de 5'in katı olmalıdır. Bu durumda $6b + 1$ sayısının birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır. $6b + 1$'in birler basamağının 0 olması için $6b$'nin birler basamağının 9 olması gerekir ki bu mümkün değildir. Dolayısıyla $6b + 1$'in birler basamağı 5 olmalıdır, yani $6b$'nin birler basamağı 4 olmalıdır.

$b$ için doğal sayı değerlerini deneyelim:

• Eğer $b=1$ ise, $6b+1 = 6(1)+1 = 7$ (5'in katı değil)
• Eğer $b=2$ ise, $6b+1 = 6(2)+1 = 13$ (5'in katı değil)
• Eğer $b=3$ ise, $6b+1 = 6(3)+1 = 19$ (5'in katı değil)
• Eğer $b=4$ ise, $6b+1 = 6(4)+1 = 25$ (5'in katı). Bu durumda $5a = 25 \implies a = 5$.

Böylece ilk olası çözüm $(a, b) = (5, 4)$ olarak bulunur.

Bu değerler için ipin uzunluğunu hesaplayalım:

$$L = 5a + 3 = 5(5) + 3 = 25 + 3 = 28 \text{ cm}$$

veya

$$L = 6b + 4 = 6(4) + 4 = 24 + 4 = 28 \text{ cm}$$

İpin uzunluğu 28 cm'dir. Soruda verilen "İplerin uzunluğu 50 santimetreden kısa olduğuna göre" şartını kontrol edelim: $28 < 50$. Bu şart sağlanmaktadır.

Başka bir çözüm olup olmadığını kontrol edelim. $a$ ve $b$ değerleri arttıkça ipin uzunluğu da artacaktır. Örneğin, $a$ için bir sonraki uygun değer $a=11$ (çünkü $a \equiv 5 \pmod 6$).

• Eğer $a=11$ ise, $5(11) = 55$. Bu durumda $6b+1 = 55 \implies 6b = 54 \implies b = 9$.

Bu durumda ipin uzunluğu $L = 5(11) + 3 = 55 + 3 = 58$ cm olur. Bu uzunluk 50 cm'den büyük olduğu için bu çözüm geçerli değildir. Dolayısıyla $(a, b) = (5, 4)$ tek geçerli çözümdür.

Şimdi beşgen ve altıgenin çevre uzunluklarını bulup toplayalım:

• Beşgenin çevresi: $5a = 5(5) = 25$ cm
• Altıgenin çevresi: $6b = 6(4) = 24$ cm

Çevre uzunlukları toplamı: $25 + 24 = 49$ cm.

Cevap A seçeneğidir.