🎓 7. Sınıf Eşitlik ve Denklem Test 9 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 7. sınıf "Eşitlik ve Denklem" ünitesindeki temel kavramları, denklem çözme yöntemlerini ve problem kurma becerilerini pekiştirmek amacıyla hazırlanmıştır. Testteki sorular, bir bilinmeyenli denklemlerin çözümü, kesirli denklemler, parantezli ifadeler ve günlük hayattan denklemlere dönüştürülen problem çözme becerilerini kapsamaktadır. Bu notlar, sınav öncesi son tekrarınız için harika bir rehber olacak! 🚀

1. Denklem Nedir? Bilinmeyen ve Çözüm Kümesi

• Eşitlik: İki matematiksel ifadenin birbirine eşit olduğunu gösteren matematiksel ifadeye denir. Örneğin, $\backslash text\{5\; +\; 3\; =\; 8\}$ bir eşitliktir.
• Bilinmeyen (Değişken): Değeri henüz belli olmayan, genellikle $\backslash text\{x,\; y,\; a,\; b\}$ gibi harflerle gösterilen niceliklerdir. Hayatımızdaki "kaç tane?", "ne kadar?" gibi soruların cevabını aradığımız şeylerdir. 🕵️‍♀️
• Denklem: İçinde en az bir bilinmeyen bulunan ve bu bilinmeyenin belirli değerleri için doğru olan eşitliklerdir. Örneğin, $\backslash text\{2x\; +\; 5\; =\; 11\}$ bir denklemdir.
• Denklemin Kökü (Çözümü): Denklemdeki bilinmeyenin, eşitliği sağlayan değeridir. Yukarıdaki örnekte $\backslash text\{x\; =\; 3\}$ denklemin köküdür, çünkü $\backslash text\{2(3)\; +\; 5\; =\; 6\; +\; 5\; =\; 11\}$ eşitliği sağlar.
• Çözüm Kümesi (Ç.K.): Denklemin köklerinin oluşturduğu kümedir. Genellikle süslü parantez $\backslash text\{\backslash \{\; \backslash \}\}$ içinde gösterilir. Örneğin, $\backslash text\{Ç.K.\; =\; \backslash \{3\backslash \}\}$.

⚠️ Dikkat: Denklem çözümü demek, bilinmeyeni (genellikle $\backslash text\{x\}$'i) yalnız bırakmak demektir. Amacımız, eşitliğin bir tarafında sadece bilinmeyen, diğer tarafında ise bir sayı olmasını sağlamaktır.

2. Bir Bilinmeyenli Denklemleri Çözme Sanatı 🎨

Denklem çözerken temel prensip, eşitliğin her iki tarafına da aynı işlemi uygulamaktır. Böylece eşitlik bozulmaz.

• Terimleri Karşıya Atma (Taşıma): Bir terimi eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçirirken işaretini değiştirmeyi unutmayın! Toplama çıkarma olur, çıkarma toplama olur.
  • Örnek: $\backslash text\{3x\; -\; 5\; =\; 7\}$
    $\backslash text\{-5\}$'i karşıya $\backslash text\{+5\}$ olarak atarız: $\backslash text\{3x\; =\; 7\; +\; 5\}$
    $\backslash text\{3x\; =\; 12\}$
    Her iki tarafı $\backslash text\{3\}$'e böleriz: $\backslash text\{x\; =\; 4\}$
• Benzer Terimleri Birleştirme: Bilinmeyenli terimleri kendi aralarında, sayıları da kendi aralarında toplar veya çıkarırız.
  • Örnek: $\backslash text\{8x\; -\; 3\; =\; 5x\; -\; 9\}$
    $\backslash text\{5x\}$'i sol tarafa $\backslash text\{-5x\}$ olarak, $\backslash text\{-3\}$'ü sağ tarafa $\backslash text\{+3\}$ olarak atarız:
    $\backslash text\{8x\; -\; 5x\; =\; -9\; +\; 3\}$
    $\backslash text\{3x\; =\; -6\}$
    Her iki tarafı $\backslash text\{3\}$'e böleriz: $\backslash text\{x\; =\; -2\}$
• Parantezli Denklemler (Dağılma Özelliği): Parantez dışındaki sayıyı parantez içindeki her terimle çarpmayı unutmayın!
  • Örnek: $\backslash text\{3x\; -\; (x\; -\; 4)\; =\; 16\}$
    Parantez önündeki eksi işareti, parantez içindeki her terimin işaretini değiştirir: $\backslash text\{3x\; -\; x\; +\; 4\; =\; 16\}$
    Benzer terimleri birleştiririz: $\backslash text\{2x\; +\; 4\; =\; 16\}$
    $\backslash text\{+4\}$'ü karşıya $\backslash text\{-4\}$ olarak atarız: $\backslash text\{2x\; =\; 16\; -\; 4\}$
    $\backslash text\{2x\; =\; 12\}$
    Her iki tarafı $\backslash text\{2\}$'ye böleriz: $\backslash text\{x\; =\; 6\}$
  • 💡 İpucu: $\backslash text\{2(x\; -\; 9)\}$ gibi ifadelerde $\backslash text\{2\}$'yi hem $\backslash text\{x\}$ ile hem de $\backslash text\{-9\}$ ile çarpmalısın: $\backslash text\{2x\; -\; 18\}$.

3. Kesirli Denklemler: Paydaları Eşitlemekten Korkma! 😱

Denklemlerde kesirli ifadeler varsa, genellikle iki ana yöntemden birini kullanırız:

• Ortak Payda Bulma ve Paydaları Yok Etme: Eşitliğin her iki tarafındaki tüm terimlerin paydalarını eşitleyip, sonra paydaları yok sayabiliriz (çünkü eşitliğin her iki tarafını da ortak paydayla çarpmış oluruz).
  • Örnek: $\backslash text\{\backslash frac\{x\}\{5\}\; +\; \backslash frac\{x\}\{4\}\; =\; \backslash frac\{9\}\{5\}\}$
    Paydalar $\backslash text\{5,\; 4,\; 5\}$. Ortak katları $\backslash text\{20\}$'dir.
    Her terimi $\backslash text\{20\}$ ile çarparız veya paydaları $\backslash text\{20\}$'de eşitleriz:
    $\backslash text\{\backslash frac\{4x\}\{20\}\; +\; \backslash frac\{5x\}\{20\}\; =\; \backslash frac\{36\}\{20\}\}$
    Paydalar eşitlendiğinde, paydaları atıp sadece paylarla işlem yapabiliriz:
    $\backslash text\{4x\; +\; 5x\; =\; 36\}$
    $\backslash text\{9x\; =\; 36\}$
    $\backslash text\{x\; =\; 4\}$
• İçler Dışlar Çarpımı (Orantı Durumunda): Eğer denklem $\backslash text\{\backslash frac\{a\}\{b\}\; =\; \backslash frac\{c\}\{d\}\}$ şeklinde bir orantı ise, içler dışlar çarpımı yaparak denklemi kolayca çözebiliriz: $\backslash text\{a\; \backslash cdot\; d\; =\; b\; \backslash cdot\; c\}$.
  • Örnek: $\backslash text\{\backslash frac\{4x\; -\; 9\}\{5\}\; =\; \backslash frac\{6x\; -\; 1\}\{3\}\}$
    İçler dışlar çarpımı yaparız:
    $\backslash text\{3\; \backslash cdot\; (4x\; -\; 9)\; =\; 5\; \backslash cdot\; (6x\; -\; 1)\}$
    Dağılma özelliğini kullanırız:
    $\backslash text\{12x\; -\; 27\; =\; 30x\; -\; 5\}$
    $\backslash text\{12x\; -\; 30x\; =\; -5\; +\; 27\}$
    $\backslash text\{-18x\; =\; 22\}$
    $\backslash text\{x\; =\; -\backslash frac\{22\}\{18\}\; =\; -\backslash frac\{11\}\{9\}\}$
• ⚠️ Dikkat: Kesirli denklemlerde paydaları eşitlerken veya içler dışlar çarpımı yaparken, parantez kullanmayı unutmayın! Özellikle pay kısmında birden fazla terim varsa, dağılma özelliğini doğru uygulamak çok önemlidir.

4. Problem Çözme: Hayattan Denklemlere, Denklemlerden Çözümlere 🧩

Günlük hayattaki problemleri çözmek için onları matematiksel bir denkleme dönüştürmemiz gerekir. İşte adımlar:

• 1. Adım: Bilinmeyeni Belirle ve Harflendir. Soruda neyi bulman isteniyorsa, ona bir harf (genellikle $\backslash text\{x\}$) ver.
• 2. Adım: Verilen Bilgileri Matematik Diline Çevir. Cümlelerdeki ilişkileri matematiksel ifadelere dönüştür.
  • "Bir sayının 2 katı": $\backslash text\{2x\}$
  • "Bir sayının 5 eksiği": $\backslash text\{x\; -\; 5\}$
  • "Bir sayının 3 fazlasının yarısı": $\backslash text\{\backslash frac\{x\; +\; 3\}\{2\}\}$
  • "Ardışık iki sayı": $\backslash text\{x\}$ ve $\backslash text\{x\; +\; 1\}$
  • "Ardışık iki çift sayı": $\backslash text\{x\}$ ve $\backslash text\{x\; +\; 2\}$
• 3. Adım: Denklemi Kur. Tüm bu ifadeleri kullanarak eşitliği oluştur.
• 4. Adım: Denklemi Çöz. Öğrendiğin yöntemlerle bilinmeyeni bul.
• 5. Adım: Çözümü Kontrol Et ve Anlamlandır. Bulduğun değerin sorudaki koşulları sağlayıp sağlamadığını kontrol et. Cevabın mantıklı olup olmadığını düşün.

Örnek Problem Tipleri:

• Miktar/Ücret Problemleri:
  • Bir kalem $\backslash text\{3\; TL\}$, diğeri $\backslash text\{6\; TL\}$. Toplam $\backslash text\{63\; TL\}$ ödedin. En az kaç kalem aldın? 🤔
    Bilinmeyenleri belirleyelim: $\backslash text\{x\}$ = 3 TL'lik kalem sayısı, $\backslash text\{y\}$ = 6 TL'lik kalem sayısı.
    Denklem: $\backslash text\{3x\; +\; 6y\; =\; 63\}$. Biz $\backslash text\{x\; +\; y\}$ toplamının en az olmasını istiyoruz.
    Toplam kalem sayısını en az yapmak için pahalı kalemden (6 TL'lik) mümkün olduğunca çok almalıyız.
    Eğer $\backslash text\{y\; =\; 10\}$ ise, $\backslash text\{3x\; +\; 6(10)\; =\; 63\; \backslash Rightarrow\; 3x\; +\; 60\; =\; 63\; \backslash Rightarrow\; 3x\; =\; 3\; \backslash Rightarrow\; x\; =\; 1\}$. Toplam kalem: $\backslash text\{1\; +\; 10\; =\; 11\}$.
• Ardışık Okuma/Soru Çözme Problemleri:
  • Ceren her gün bir önceki gün okuduğunun 2 katının 10 eksiği kadar sayfa okuyor. 3 günde 320 sayfa bitiriyor.
    1. gün okuduğu sayfa sayısı: $\backslash text\{x\}$
    2. gün okuduğu sayfa sayısı: $\backslash text\{2x\; -\; 10\}$
    3. gün okuduğu sayfa sayısı: $\backslash text\{2(2x\; -\; 10)\; -\; 10\; =\; 4x\; -\; 20\; -\; 10\; =\; 4x\; -\; 30\}$
    Toplam: $\backslash text\{x\; +\; (2x\; -\; 10)\; +\; (4x\; -\; 30)\; =\; 320\}$
    $\backslash text\{7x\; -\; 40\; =\; 320\; \backslash Rightarrow\; 7x\; =\; 360\; \backslash Rightarrow\; x\; =\; \backslash frac\{360\}\{7\}\}$. (Bu problemde sayfa sayısı tam sayı çıkmıyor, ancak mantık bu şekilde kurulur.)
  • Buse her gün bir önceki günden 10 tane daha fazla soru çözüyor. 3 günde 150 soru çözüyor.
    1. gün: $\backslash text\{x\}$
    2. gün: $\backslash text\{x\; +\; 10\}$
    3. gün: $\backslash text\{x\; +\; 20\}$
    Toplam: $\backslash text\{x\; +\; (x\; +\; 10)\; +\; (x\; +\; 20)\; =\; 150\}$
    $\backslash text\{3x\; +\; 30\; =\; 150\; \backslash Rightarrow\; 3x\; =\; 120\; \backslash Rightarrow\; x\; =\; 40\}$.
• Terazi Problemleri:
  • Terazi problemleri, eşitlik veya eşitsizlik kurmak için görsel bir yol sunar. Denge durumunda eşitlik, bir tarafın ağır basması durumunda eşitsizlik kurarız.
  • 💡 İpucu: Terazi problemlerinde, her bir cismin ağırlığına bir değişken atayın (örneğin, daire için $\backslash text\{x\}$, kare için $\backslash text\{y\}$). Sonra kefelerdeki toplam ağırlıkları yazıp, terazinin durumuna göre eşitlik ($\backslash text\{=\}$) veya eşitsizlik (, $\backslash text\{>\; \}$) sembolünü kullanın. İşlemlerden sonra dengeye geliyorsa, son durumu bir eşitlik olarak ifade edin.

5. Denklem Çözümünde Püf Noktaları ve Sık Yapılan Hatalar ⚠️

• İşaret Hataları: Terimleri eşitliğin diğer tarafına atarken işaret değiştirmeyi unutmak en sık yapılan hatadır. $\backslash text\{+\}$ ise $\backslash text\{-\}$, $\backslash text\{-\}$ ise $\backslash text\{+\}$ olur.
• Dağılma Özelliğini Unutma: Parantez dışındaki sayıyı sadece ilk terimle çarpmak yerine, parantez içindeki tüm terimlerle çarpmalısın. $\backslash text\{2(x\; -\; 3)\; =\; 2x\; -\; 6\}$, değil $\backslash text\{2x\; -\; 3\}$.
• Kesirli İfadelerde Payda Hataları: Paydaları eşitlerken veya sadeleştirirken tüm terimlere aynı işlemi uygulamayı unutmayın. Özellikle paydaları yok ederken, pay kısmındaki tüm terimlerin ortak paydayla çarpıldığından emin olun.
• Negatif Sayılarla İşlem: Negatif sayılarla çarpma ve bölme yaparken işaret kurallarına dikkat edin. ($\backslash text\{-\; \backslash cdot\; -\; =\; +\}$, $\backslash text\{-\; \backslash cdot\; +\; =\; -\}$)
• Çözümü Kontrol Etme: Bulduğun $\backslash text\{x\}$ değerini orijinal denklemde yerine koyarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol et. Bu, hatalarını bulmanın en kesin yoludur! ✅

Unutmayın, matematik bir yolculuktur ve her problem bir bulmacadır. Sabırla ve dikkatle çözdüğünüzde, her zaman doğru cevaba ulaşabilirsiniz! Başarılar dilerim! 🌟