Beyza'nın aldığı kalemlerin sayısını ve ödediği toplam tutarı kullanarak en az kaç kalem aldığını bulalım.

• 3 TL'lik kalem sayısına \(x\) diyelim.
• 6 TL'lik kalem sayısına \(y\) diyelim.

Toplam ödenen tutar 63 TL olduğuna göre, denklemimiz şu şekildedir:

\[3x + 6y = 63\]

Denklemi 3 ile sadeleştirelim:

\[x + 2y = 21\]

Beyza'nın aldığı toplam kalem sayısı \(x + y\)'dir. Bu sayının en az olmasını istiyoruz. Toplam kalem sayısını en aza indirmek için, birim fiyatı daha yüksek olan kalemlerden (6 TL'lik kalemler) mümkün olduğunca fazla almalıyız.

Denklemden \(x\)'i çekelim:

\[x = 21 - 2y\]

Toplam kalem sayısı \(x + y\) ifadesinde \(x\) yerine \(21 - 2y\) yazalım:

\[\text{Toplam Kalem Sayısı} = (21 - 2y) + y = 21 - y\]

Toplam kalem sayısının en az olması için \(21 - y\) ifadesinin en küçük değerini alması gerekir. Bu da \(y\)'nin (6 TL'lik kalem sayısı) en büyük değerini almasıyla mümkündür.

\(x\) bir kalem sayısı olduğu için negatif olamaz, yani \(x \ge 0\). Bu durumda:

\[21 - 2y \ge 0\]

\[21 \ge 2y\]

\[y \le 10.5\]

\(y\) bir tam sayı olmak zorunda olduğundan, \(y\)'nin alabileceği en büyük değer 10'dur.

\(y = 10\) için \(x\) değerini bulalım:

\[x = 21 - 2(10) = 21 - 20 = 1\]

Bu durumda Beyza 1 adet 3 TL'lik kalem ve 10 adet 6 TL'lik kalem almıştır.

Toplam ödenen tutarı kontrol edelim: \(3(1) + 6(10) = 3 + 60 = 63\) TL. Bu doğrudur.

Toplam kalem sayısı:

\[x + y = 1 + 10 = 11\]

Buna göre Beyza en az 11 tane kalem almıştır.

Cevap C seçeneğidir.