🎓 7. Sınıf Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemi Tanıma ve Kurma - Denklem Çözümü Test 7 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler konusunu kapsayan bir testteki soruları temel alarak hazırlanmıştır. Öğrencilerin sözel ifadeleri denkleme dönüştürme, denklem kurma, kurulan denklemleri çözme ve günlük hayat problemlerini denklem yoluyla çözme becerilerini pekiştirmeyi amaçlamaktadır. Konu anlatımı, örnekler ve kritik ipuçlarıyla sınavlara hazırlık sürecinde sizlere rehber olacaktır. 💪

1. Denklem Nedir?

• Denklem, içinde en az bir bilinmeyen (genellikle $\backslash (\backslash text\{x\}\backslash )$, $\backslash (\backslash text\{y\}\backslash )$, $\backslash (\backslash text\{a\}\backslash )$, $\backslash (\backslash text\{m\}\backslash )$ gibi harflerle gösterilir) bulunan ve bir eşitlik belirten matematiksel ifadelerdir.
• Örnek: $\backslash (\backslash text\{x\; +\; 5\; =\; 12\}\backslash )$ ifadesi bir denklemdir. Burada $\backslash (\backslash text\{x\}\backslash )$ bilinmeyendir.
• Amacımız, bu bilinmeyenin değerini bulmaktır.

2. Sözel İfadeleri Denkleme Dönüştürme (Denklem Kurma) 📝

Günlük hayattaki durumları veya sözel olarak verilen matematiksel ifadeleri denkleme çevirmek, bu konunun temelidir. İşte bazı yaygın ifadeler ve cebirsel karşılıkları:

• Bir Sayı: Genellikle $\backslash (\backslash text\{x\}\backslash )$ ile gösterilir.
• Bir Sayının Fazlası: Toplama işlemi kullanılır.
  • Örnek: "Bir sayının 2 fazlası" → $\backslash (\backslash text\{x\; +\; 2\}\backslash )$
  • Örnek: "Ali'nin yaşının 15 fazlası 27'dir." → $\backslash (\backslash text\{m\; +\; 15\; =\; 27\}\backslash )$
• Bir Sayının Eksiği: Çıkarma işlemi kullanılır.
  • Örnek: "Bir sayının 3 eksiği" → $\backslash (\backslash text\{x\; -\; 3\}\backslash )$
• Bir Sayının Katı: Çarpma işlemi kullanılır.
  • Örnek: "Bir sayının 3 katı" → $\backslash (\backslash text\{3x\}\backslash )$
• Bir Sayının Yarısı/Çeyreği: Bölme işlemi kullanılır.
  • Örnek: "Bir sayının yarısı" → $\backslash (\backslash text\{x/2\}\backslash )$
• Karmaşık İfadeler: İşlem sırasına dikkat etmek önemlidir.
  • Örnek: "Hangi sayının 3 katının 1 fazlası 22'dir?" → $\backslash (\backslash text\{3x\; +\; 1\; =\; 22\}\backslash )$
  • Örnek: "Bir sayının 1 fazlasının 2 katı" → $\backslash (\backslash text\{2(x\; +\; 1)\}\backslash )$ (Önce fazlası, sonra katı)
  • Örnek: "Bir sayının 2 katının 15 eksiği" → $\backslash (\backslash text\{2x\; -\; 15\}\backslash )$ (Önce katı, sonra eksiği)

⚠️ Dikkat: "Bir sayının 1 fazlasının 2 katı" ile "bir sayının 2 katının 1 fazlası" ifadeleri farklı denklemler oluşturur! Parantez kullanımı bu noktada çok önemlidir.
$\backslash (\backslash text\{2(x\; +\; 1)\}\backslash )$ farklı, $\backslash (\backslash text\{2x\; +\; 1\}\backslash )$ farklıdır.

3. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Çözümü 💡

Denklem çözmek, bilinmeyeni (genellikle $\backslash (\backslash text\{x\}\backslash )$) eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmak demektir. Bunu yaparken eşitliğin dengesini bozmamak çok önemlidir.

• Temel İlke: Eşitliğin her iki tarafına da aynı işlemi (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) yaparsak eşitlik bozulmaz. Tıpkı bir terazi gibi düşünün!
• Adım Adım Çözüm Yöntemi:
  1. Varsa parantezleri dağılma özelliği kullanarak açın. (Örnek: $\backslash (\backslash text\{2(x\; +\; 1)\; =\; 2x\; +\; 2\}\backslash )$)
  2. Bilinmeyenli terimleri eşitliğin bir tarafına (genellikle sol tarafa), sabit terimleri (sayıları) diğer tarafına (genellikle sağ tarafa) toplayın.
  3. Bir terimi eşitliğin diğer tarafına geçirirken işaretini değiştirmeyi unutmayın! (+ ise -, - ise + olur.)
  4. Bilinmeyenin katsayısını 1 yapmak için eşitliğin her iki tarafını bilinmeyenin katsayısına bölün.
• Örnek Çözümler:
  • Basit Toplama/Çıkarma: $\backslash (\backslash text\{x\; +\; 1\; =\; 6\}\backslash )$
    → $\backslash (\backslash text\{x\; =\; 6\; -\; 1\}\backslash )$
    → $\backslash (\backslash text\{x\; =\; 5\}\backslash )$
  • Basit Çarpma/Bölme: $\backslash (\backslash text\{2x\; =\; 16\}\backslash )$
    → $\backslash (\backslash text\{x\; =\; 16\; /\; 2\}\backslash )$
    → $\backslash (\backslash text\{x\; =\; 8\}\backslash )$
  • Dört İşlem İçeren: $\backslash (\backslash text\{5x\; -\; 3\; =\; 27\}\backslash )$
    → $\backslash (\backslash text\{5x\; =\; 27\; +\; 3\}\backslash )$ ( -3 karşıya +3 olarak geçti)
    → $\backslash (\backslash text\{5x\; =\; 30\}\backslash )$
    → $\backslash (\backslash text\{x\; =\; 30\; /\; 5\}\backslash )$
    → $\backslash (\backslash text\{x\; =\; 6\}\backslash )$
  • Her İki Tarafta Bilinmeyen ve Sabit Terim: $\backslash (\backslash text\{2(x\; +\; 1)\; =\; 3x\; -\; 1\}\backslash )$
    → $\backslash (\backslash text\{2x\; +\; 2\; =\; 3x\; -\; 1\}\backslash )$ (Parantez dağıtıldı)
    → $\backslash (\backslash text\{2\; +\; 1\; =\; 3x\; -\; 2x\}\backslash )$ (Sabitler sola, bilinmeyenler sağa alındı, işaretler değişti)
    → $\backslash (\backslash text\{3\; =\; x\}\backslash )$
  • Kesirli İfadeler İçeren: $\backslash (\backslash text\{x/2\; =\; 2x\; -\; 15\}\backslash )$
    → Eşitliğin her iki tarafını paydadan kurtulmak için 2 ile çarpalım: $\backslash (\backslash text\{2\; *\; (x/2)\; =\; 2\; *\; (2x\; -\; 15)\}\backslash )$
    → $\backslash (\backslash text\{x\; =\; 4x\; -\; 30\}\backslash )$
    → $\backslash (\backslash text\{30\; =\; 4x\; -\; x\}\backslash )$
    → $\backslash (\backslash text\{30\; =\; 3x\}\backslash )$
    → $\backslash (\backslash text\{x\; =\; 10\}\backslash )$

💡 İpucu: Bir denklemde birden fazla bilinmeyen varsa (örneğin $\backslash (\backslash text\{x\}\backslash )$ ve $\backslash (\backslash text\{y\}\backslash )$), genellikle birini bulduktan sonra diğerini bulmak için yerine koyma yöntemi kullanılır.

4. Problemleri Denklem Kurarak Çözme 🧠

Matematik problemlerini çözmek için denklem kurmak, en etkili yöntemlerden biridir. İşte adımlar:

• Adım 1: Problemi Anla 🤔
  Problemi dikkatlice oku, verilen bilgileri ve senden ne istendiğini belirle.
• Adım 2: Bilinmeyeni Tanımla ❓
  Genellikle sorulan şeyi bir harfle ($\backslash (\backslash text\{x\}\backslash )$) temsil et. Örneğin, "toplam kat sayısı kaçtır?" diyorsa, toplam kat sayısına $\backslash (\backslash text\{x\}\backslash )$ de.
• Adım 3: Denklemi Kur ✍️
  Verilen bilgileri ve bilinmeyeni kullanarak bir eşitlik yaz. Bu, problemin matematiksel modelidir.
  • Örnek (Apartman Dairesi): Toplam kat sayısı $\backslash (\backslash text\{x\}\backslash )$ olsun. Giriş katta 2 daire var. Geriye kalan $\backslash (\backslash text\{x\; -\; 1\}\backslash )$ katta ise her birinde 4 daire var. Toplam 26 daire olduğuna göre: $\backslash (\backslash text\{2\; +\; 4\; *\; (x\; -\; 1)\; =\; 26\}\backslash )$
  • Örnek (Tavşan ve Kümes): Kümes sayısı $\backslash (\backslash text\{x\}\backslash )$ olsun.
    • 4'erli konulursa 2 tavşan açıkta kalıyor: Toplam tavşan sayısı = $\backslash (\backslash text\{4x\; +\; 2\}\backslash )$
    • 5'erli konulursa 1 kümes boş kalıyor: Bu durumda $\backslash (\backslash text\{x\; -\; 1\}\backslash )$ kümes dolu ve her birinde 5 tavşan var. Toplam tavşan sayısı = $\backslash (\backslash text\{5\; *\; (x\; -\; 1)\}\backslash )$
    • Her iki ifade de toplam tavşan sayısını verdiğinden, denklemi kurabiliriz: $\backslash (\backslash text\{4x\; +\; 2\; =\; 5\; *\; (x\; -\; 1)\}\backslash )$
  • Örnek (Bisiklet Rampası): Bisiklet tekerleğinin yarıçapı $\backslash (\backslash text\{r\; =\; x\; +\; 2\}\backslash )$ cm. Tekerleğin çevresi $\backslash (\backslash text\{Ç\; =\; 2\pi r\}\backslash )$. $\backslash (\backslash text\{\pi \; =\; 3\}\backslash )$ alındığında, $\backslash (\backslash text\{Ç\; =\; 2\; *\; 3\; *\; (x\; +\; 2)\; =\; 6(x\; +\; 2)\}\backslash )$ cm olur.
    • Rampa uzunluğu = Dönme sayısı * Çevre.
    • İlk rampa için: $\backslash (\backslash text\{10\; *\; (4x\; +\; 6)\; =\; 6\; *\; 6(x\; +\; 2)\}\backslash )$
      → $\backslash (\backslash text\{10(4x\; +\; 6)\; =\; 36(x\; +\; 2)\}\backslash )$ Bu denklemi çözerek $\backslash (\backslash text\{x\}\backslash )$ değerini buluruz.
    • $\backslash (\backslash text\{x\}\backslash )$ değerini bulduktan sonra, ikinci rampanın uzunluğunu hesaplamak için: $\backslash (\backslash text\{4\; *\; 6(x\; +\; 2)\}\backslash )$ formülünü kullanırız.
  • Örnek (Para Problemi): Ferdi'nin parası $\backslash (\backslash text\{F\}\backslash )$, Tayfur'un parası $\backslash (\backslash text\{T\}\backslash )$ olsun. Ferdi 30 TL verdiğinde paraları eşit oluyorsa: $\backslash (\backslash text\{F\; -\; 30\; =\; T\; +\; 30\}\backslash )$. Bu denklemi düzenlersek $\backslash (\backslash text\{F\; -\; T\; =\; 60\}\backslash )$ buluruz. Bu da Ferdi'nin parasının Tayfur'unkinden 60 TL fazla olduğunu gösterir.
• Adım 4: Denklemi Çöz ➕➖✖️➗
  Yukarıda öğrendiğin denklem çözme adımlarını uygulayarak bilinmeyenin değerini bul.
• Adım 5: Çözümü Kontrol Et ✅
  Bulduğun değerin problemin orijinal koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol et. Mantıklı mı?

5. Kritik Noktalar ve İpuçları ⚠️

• İşaret Hataları: Terimleri eşitliğin diğer tarafına atarken işaret değiştirmeyi asla unutma! Bu, en sık yapılan hatalardan biridir.
• Dağılma Özelliği: Parantez önündeki sayıyı parantez içindeki her terimle çarpmayı unutma. $\backslash (\backslash text\{a(b\; +\; c)\; =\; ab\; +\; ac\}\backslash )$
• Kesirli Denklemler: Denklemin her iki tarafını da paydaların en küçük ortak katı ile çarparak kesirlerden kurtulmak işlemi kolaylaştırır.
• Problem Anlama: Problemi doğru okumak ve bilinmeyeni doğru tanımlamak, çözümün yarısıdır. Acele etme, problemi birkaç kez oku.
• Kontrol Et: Bulduğun sonucun denklemi sağlayıp sağlamadığını mutlaka kontrol et. Bu, hatalarını erken fark etmeni sağlar.
• Bir Sayı Yerine Harf Kullanımı: "Bir sayı" dendiğinde hemen bir harf (genellikle $\backslash (\backslash text\{x\}\backslash )$) atamayı alışkanlık haline getir.
• Günlük Hayat Bağlantısı: Denklemler, günlük hayattaki birçok problemi çözmek için güçlü bir araçtır. Yaş hesaplamaları, para işlemleri, mesafe, hız problemleri gibi birçok alanda kullanılırlar.

Bu ders notları, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler konusunda sağlam bir temel oluşturmanıza yardımcı olacaktır. Bol bol pratik yaparak ve farklı problem tipleri üzerinde çalışarak bu konudaki yetkinliğinizi artırabilirsiniz! Başarılar dilerim! 🌟