Merhaba! Bu problem, bisiklet tekerleğinin dönme sayısı, yarıçapı ve kat edilen mesafe arasındaki ilişkiyi kullanarak bir bilinmeyeni bulmamızı ve ardından yeni bir rampanın uzunluğunu hesaplamamızı istiyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Tekerleğin Çevresini Hesaplama:
Bisiklet tekerleğinin yarıçapı \(r = (x + 2)\) cm olarak verilmiştir. Tekerleğin bir tam turda kat ettiği mesafe, çevresi kadardır. Çevre formülü \(2 \pi r\)'dir. \(\pi = 3\) alındığında:
\(Çevre = 2 \cdot 3 \cdot (x + 2) = 6 \cdot (x + 2)\) cm
- 2. İlk Rampanın Uzunluğunu İki Farklı Şekilde İfade Etme ve x'i Bulma:
İlk rampanın uzunluğu \(L_1 = 10 \cdot (4x + 6)\) cm olarak verilmiştir. Mehmet bu rampayı tekerleği 6 dönme yaparak geçiyor. Yani rampanın uzunluğu, tekerleğin çevresinin 6 katıdır:
\(L_1 = 6 \cdot Çevre\)
\(10 \cdot (4x + 6) = 6 \cdot [6 \cdot (x + 2)]\)
\(10 \cdot (4x + 6) = 36 \cdot (x + 2)\)
Denklemi basitleştirelim (her iki tarafı 2'ye bölelim):
\(5 \cdot (4x + 6) = 18 \cdot (x + 2)\)
\(20x + 30 = 18x + 36\)
\(20x - 18x = 36 - 30\)
\(2x = 6\)
\(x = 3\)
- 3. Tekerleğin Gerçek Yarıçapını Hesaplama:
\(x = 3\) değerini yarıçap formülüne yerleştirelim:
\(r = x + 2 = 3 + 2 = 5\) cm
- 4. Yeni Rampanın Uzunluğunu Hesaplama:
Mehmet başka bir rampayı tekerleği 4 dönme yaptığında geçiyor. Tekerleğin yarıçapı artık 5 cm olduğuna göre, çevresi:
\(Çevre = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\) cm
Yeni rampanın uzunluğu \(L_2\), tekerleğin çevresinin 4 katıdır:
\(L_2 = 4 \cdot Çevre = 4 \cdot 30 = 120\) cm
- 5. Birim Dönüşümü (Gerekirse):
Soru rampanın uzunluğunu "metre" cinsinden sormuş olsa da, verilen seçenekler "santimetre" cinsinden değerlere işaret etmektedir. Bu durumda, cevabı santimetre cinsinden bırakırız.
\(L_2 = 120\) cm
Cevap B seçeneğidir.