7. Sınıf Eşitliğin Korunumu Ders Notu ⚖️

Merhaba sevgili öğrenciler! 👋 Bugün matematikteki en temel ve önemli konulardan biri olan "Eşitliğin Korunumu" ilkesini detaylıca inceleyeceğiz. Bu ilke, denklemleri anlamamızın ve çözmemizin anahtarıdır. Hazır mısınız? Başlayalım! 🚀

Eşitlik Nedir? 🤔

Eşitlik, iki matematiksel ifadenin birbirine denk olduğunu, yani aynı değeri taşıdığını gösteren bir durumdur. Matematikte bu durumu göstermek için eşittir (=) sembolünü kullanırız. Örneğin:

• $5 + 3 = 8$ (5 ile 3'ün toplamı 8'e eşittir.)
• $2 \times 4 = 8$ (2 ile 4'ün çarpımı da 8'e eşittir.)
• $x + 2 = 7$ (Burada x'in değeri 5 olmalı ki eşitlik sağlansın.)

Günlük hayatta eşitlik kavramına birçok yerde rastlarız. Örneğin, bir teraziye iki taraftan da aynı ağırlığı koyduğumuzda terazi dengede kalır. İşte bu denge durumu bir eşitliktir! ⚖️

Terazi Modeli ve Denklemler ⚖️

Eşit kollu terazi, eşitlik kavramını görselleştirmek için harika bir araçtır. Eğer terazi dengedeyse, iki kefedeki ağırlıklar birbirine eşittir demektir. Matematikteki denklemler de aslında bu terazi gibidir!

• Terazinin sol kefesi, denklemin sol tarafını temsil eder.
• Terazinin sağ kefesi, denklemin sağ tarafını temsil eder.
• Terazinin dengede olması, iki tarafın eşit olduğunu, yani eşittir (=) işaretini ifade eder.

Bilinmeyen ağırlıkları (sayıları) genellikle harflerle (değişkenlerle) gösteririz. En sık kullanılan değişkenler $x$, $y$, $a$, $b$ gibi harflerdir. Örneğin, bir elmanın kütlesini $e$ ile, bir muzun kütlesini $m$ ile gösterebiliriz. 🍎🍌

Örnek: Bir terazinin sol kefesinde 1 elma ve 2 muz, sağ kefesinde ise 5 muz varsa ve terazi dengede ise, bunu denklem olarak şöyle ifade ederiz:

$e + 2m = 5m$

Buradan elmanın kütlesinin 3 muzun kütlesine eşit olduğunu bulabiliriz: $e = 3m$.

Eşitliğin Korunumu İlkesi: Denklem Çözmenin Anahtarı! 🔑

Eşitliğin korunumu ilkesi, bir denklemin her iki tarafına da aynı işlemi uyguladığımızda eşitliğin bozulmayacağını söyler. Tıpkı dengedeki bir terazinin her iki kefesine de aynı ağırlığı eklediğimizde veya çıkardığımızda dengenin bozulmaması gibi! Bu ilke, denklemleri çözmek için kullandığımız temel prensiptir.

Eşitliğin korunumu ilkesinin dört temel kuralı vardır:

• Toplama Kuralı: Bir eşitliğin her iki tarafına da aynı sayı eklenirse, eşitlik bozulmaz.

Eğer $a = b$ ise, $a + c = b + c$ olur. (Örnek: $5 = 5 \implies 5 + 2 = 5 + 2 \implies 7 = 7$)

• Çıkarma Kuralı: Bir eşitliğin her iki tarafından da aynı sayı çıkarılırsa, eşitlik bozulmaz.

Eğer $a = b$ ise, $a - c = b - c$ olur. (Örnek: $10 = 10 \implies 10 - 3 = 10 - 3 \implies 7 = 7$)

• Çarpma Kuralı: Bir eşitliğin her iki tarafı da aynı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılırsa, eşitlik bozulmaz.

Eğer $a = b$ ise, $a \times c = b \times c$ olur ($c \neq 0$). (Örnek: $4 = 4 \implies 4 \times 2 = 4 \times 2 \implies 8 = 8$)

• Bölme Kuralı: Bir eşitliğin her iki tarafı da aynı sıfırdan farklı bir sayıya bölünürse, eşitlik bozulmaz.

Eğer $a = b$ ise, $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ olur ($c \neq 0$). (Örnek: $12 = 12 \implies \frac{12}{3} = \frac{12}{3} \implies 4 = 4$)

Denklem Çözme Adımları (Eşitliğin Korunumu ile) 🛠️

Denklem çözmenin amacı, bilinmeyeni (değişkeni) eşitliğin bir tarafında tek başına bırakmaktır. Bunu yaparken eşitliğin korunumu ilkelerini ve ters işlem mantığını kullanırız.

• Toplama işleminin tersi çıkarmadır.
• Çıkarma işleminin tersi toplamadır.
• Çarpma işleminin tersi bölmedir.
• Bölme işleminin tersi çarpmadır.

Örnek 1: $x + 5 = 12$ denklemini çözelim.

• $x$'i yalnız bırakmak için +5'ten kurtulmalıyız. +5'in ters işlemi -5'tir.
• Eşitliğin her iki tarafından da 5 çıkarırız: $x + 5 - 5 = 12 - 5$
• Sonuç: $x = 7$ ✅

Örnek 2: $3y = 18$ denklemini çözelim.

• $y$'yi yalnız bırakmak için 3 ile çarpım durumundan kurtulmalıyız. Çarpma 3'ün ters işlemi bölme 3'tür.
• Eşitliğin her iki tarafını da 3'e böleriz: $\frac{3y}{3} = \frac{18}{3}$
• Sonuç: $y = 6$ ✅

Örnek 3: $\frac{z}{4} = 7$ denklemini çözelim.

• $z$'yi yalnız bırakmak için bölme 4'ten kurtulmalıyız. Bölme 4'ün ters işlemi çarpma 4'tür.
• Eşitliğin her iki tarafını da 4 ile çarparız: $\frac{z}{4} \times 4 = 7 \times 4$
• Sonuç: $z = 28$ ✅

Kesirli İfadeler ve Denklemler 🍰

Bazı denklemlerde kesirli ifadelerle karşılaşabiliriz. Özellikle bir sayının bir kesir kadarını bulma veya bu tür ilişkileri denkleme dökme önemlidir. Örneğin, bir cismin kütlesi başka bir cismin kütlesinin $\frac{1}{3}$'ü ise, bunu nasıl ifade ederiz?

• Eğer ⭐ cisminin kütlesi $K_{\text{⭐}}$ ve 🔺 cisminin kütlesi $K_{\text{🔺}}$ ise,
• "⭐ cisminin kütlesi, 🔺 cisminin kütlesinin $\frac{1}{3}$'üne eşittir" ifadesini denklem olarak şöyle yazarız:

$K_{\text{⭐}} = \frac{1}{3} \times K_{\text{🔺}}$

• Bu denklemi, eşitliğin korunumu ilkesini kullanarak farklı bir şekilde de yazabiliriz. Eşitliğin her iki tarafını da 3 ile çarparsak:

$3 \times K_{\text{⭐}} = 3 \times \frac{1}{3} \times K_{\text{🔺}}$

$3 \times K_{\text{⭐}} = K_{\text{🔺}}$

• Bu da demektir ki, üç tane ⭐ cisminin kütlesi, bir tane 🔺 cisminin kütlesine eşittir. Bu tür ifadeleri terazi üzerinde görselleştirmek, denklemi anlamanıza çok yardımcı olacaktır.

Özet ve Unutulmaması Gerekenler! ⭐

• Eşitlik, iki ifadenin birbirine denk olmasıdır ve = sembolü ile gösterilir.
• Terazi modeli, denklemleri ve eşitliği görselleştirmek için harika bir yoldur.
• Eşitliğin Korunumu İlkesi, denklemin her iki tarafına aynı işlemi (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) uyguladığımızda eşitliğin bozulmayacağını söyler. Bu, denklem çözmenin temelidir!
• Denklem çözerken amacımız, bilinmeyeni (değişkeni) yalnız bırakmak ve bunun için ters işlemler kullanırız.
• Kesirli ifadeleri denklemlere dönüştürürken ve çözerken de eşitliğin korunumu ilkelerini dikkatlice uygulamalıyız.

Bu ders notu, "Eşitliğin Korunumu" konusunu temelden anlamanıza yardımcı olacaktır. Bol bol alıştırma yaparak konuyu pekiştirmeyi unutmayın! Başarılar dilerim! 🌟