🎓 7. Sınıf Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri Test 9 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 7. sınıf tam sayılarla çarpma ve bölme işlemleri testinin ana konularını kapsamaktadır. Rasyonel sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinin temel kurallarını, işlem önceliğini, rasyonel sayıların terslerini ve problem çözme yaklaşımlarını içeren bu notlar, sınava hazırlanırken veya tekrar yaparken size rehberlik edecektir. Hazırsanız, tam sayılar dünyasında bir yolculuğa çıkalım! 🚀

Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi

• İşaret Kuralları: Çarpma işleminde tam sayılardaki işaret kuralları aynen geçerlidir.
  • Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitiftir. (Örnek: (+\frac{1}{2}) \cdot (+\frac{3}{4}) = +\frac{3}{8} veya (-\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{1}{3}) = +\frac{2}{15})
  • Farklı işaretli iki sayının çarpımı negatiftir. (Örnek: (+\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{1}{4}) = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6})
• İşlem Adımları: Rasyonel sayılar çarpılırken, paylar kendi arasında çarpılıp sonucun payına, paydalar kendi arasında çarpılıp sonucun paydasına yazılır.
  • \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}
  • 💡 İpucu: Çarpma işleminden önce veya sonra sadeleştirme yapmak, işlemleri kolaylaştırır ve daha küçük sayılarla çalışmanızı sağlar.
• Tam Sayılı Kesirlerle Çarpma: Tam sayılı kesirler çarpma işlemine başlamadan önce mutlaka bileşik kesre çevrilmelidir.
  • Örnek: 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}
• Bir Sayının Kesir Kadarını Bulma: Bir sayının belirli bir kesir kadarını bulmak için o sayı ile kesir çarpılır.
  • Örnek: 60 sayısının \frac{2}{3}'ü 60 \cdot \frac{2}{3} = \frac{120}{3} = 40 şeklindedir.
• Tekrarlı Toplamanın Çarpma Olarak İfadesi: Aynı rasyonel sayının defalarca toplanması, o sayının tekrar sayısı ile çarpılması anlamına gelir.
  • Örnek: (-\frac{3}{5}) + (-\frac{3}{5}) + \dots + (-\frac{3}{5}) (60 tane) işlemi 60 \cdot (-\frac{3}{5}) olarak yazılır.
• ⚠️ Dikkat: Bir rasyonel sayıyı 1'den küçük pozitif bir rasyonel sayı ile çarptığınızda sonuç, başlangıçtaki sayıdan daha küçük olur. Örneğin, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemi

• İşlem Adımları: Rasyonel sayılarla bölme işlemi yaparken, birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.
  • \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}
  • 💡 İpucu: Bölme işleminde de işaret kuralları çarpmadakiyle aynıdır.
• Tam Sayılı Kesirlerle Bölme: Tam sayılı kesirler bölme işlemine başlamadan önce mutlaka bileşik kesre çevrilmelidir.
• Karmaşık Kesirler: Payında veya paydasında işlem olan kesirlere karmaşık kesir denir. Bu tür kesirlerde ana kesir çizgisi belirlenir ve önce paydaki veya paydadaki işlemler yapılır, sonra bölme işlemi uygulanır.
  • Örnek: \frac{2\frac{4}{10}}{\frac{12}{5}} ifadesinde önce 2\frac{4}{10} bileşik kesre çevrilir ve sonra bölme işlemi yapılır.
• Verilmeyen Çarpanı/Böleni Bulma: Bir çarpma işleminde verilmeyen çarpanı bulmak için çarpım, bilinen çarpana bölünür. Bir bölme işleminde verilmeyen sayıyı bulmak için ters işlem (çarpma) yapılır.

Rasyonel Sayıların Tersi

• Toplama İşlemine Göre Tersi: Bir rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının işaretinin değiştirilmiş halidir. Sayı ile tersi toplandığında sonuç 0 olur.
  • Örnek: \frac{3}{9} sayısının toplama işlemine göre tersi -\frac{3}{9}'dur. -4 sayısının toplama işlemine göre tersi +4'tür.
• Çarpma İşlemine Göre Tersi (Çarpımsal Tersi): Bir rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi, o sayının payı ile paydasının yer değiştirmiş halidir. Sayı ile tersi çarpıldığında sonuç 1 olur.
  • Örnek: \frac{3}{9} sayısının çarpma işlemine göre tersi \frac{9}{3} = 3'tür. -4 sayısının çarpma işlemine göre tersi -\frac{1}{4}'tür. 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} sayısının çarpma işlemine göre tersi \frac{2}{3}'tür.
  • ⚠️ Dikkat: 0 (sıfır) sayısının çarpma işlemine göre tersi yoktur.

Rasyonel Sayılarda İşlem Önceliği ve Dağılma Özelliği

• İşlem Önceliği Sırası: Matematiksel işlemlerde her zaman belirli bir sıra takip edilir:
  1. Parantez içindeki işlemler
  2. Üslü sayılar (7. sınıf konularında genelde az karşılaşılır)
  3. Çarpma ve Bölme işlemleri (soldan sağa doğru)
  4. Toplama ve Çıkarma işlemleri (soldan sağa doğru)
  • 💡 İpucu: Uzun işlemlerde bu sıraya dikkat etmek, doğru sonuca ulaşmanın anahtarıdır.
• Çarpma İşleminin Toplama/Çıkarma Üzerine Dağılma Özelliği: Bir sayı, parantez içindeki bir toplama veya çıkarma işlemine dışarıdan çarpım olarak katıldığında, o sayı parantez içindeki her terimle ayrı ayrı çarpılır ve sonuçlar toplanır/çıkarılır.
  • a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c
  • Örnek: \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} + \Box) = \frac{1}{6} + \frac{3}{8} işleminde \frac{1}{2} sayısı parantez içindeki her terime dağıtılmıştır.

Rasyonel Sayılarla Problem Çözme ve Yorumlama

• Metin Problemlerini Matematiksel İfadeye Çevirme: Günlük hayattaki problemleri çözerken, verilen bilgileri doğru matematiksel ifadelere dönüştürmek çok önemlidir. "Kadar", "oranında", "katı" gibi ifadeler genellikle çarpma veya bölme işlemini işaret eder.
• Sayı Doğrusunda Rasyonel Sayıların Çarpımı:
  • Eğer 1'den büyük iki rasyonel sayıyı çarparsanız, sonuç her zaman her iki sayıdan da büyük olacaktır. Örneğin, 1 ile 2 arasındaki iki sayının çarpımı (1 < a < 2 ve 1 < b < 2), her zaman 1 ile 4 arasında bir değer alır (1 < a·b < 4). 🗺️
  • Eğer 0 ile 1 arasındaki iki rasyonel sayıyı çarparsanız, sonuç her zaman her iki sayıdan da küçük olacaktır.
• Sonucun Tam Sayı Olması: Bir rasyonel sayı ile başka bir sayıyı çarptığımızda sonucun bir tam sayı olması için, çarpım sonucunda paydada bir sayı kalmamalı, yani payda sadeleşerek 1 olmalıdır. Bu durum, çarptığınız sayının paydasındaki sayının, diğer sayının paydasını tam bölebilmesi (veya tam sayıya çevrildiğinde payı tam bölebilmesi) anlamına gelir.

Bu ders notları, rasyonel sayılarla çarpma ve bölme işlemlerindeki temel bilgileri ve sıkça karşılaşılan durumları özetlemektedir. Bol bol pratik yaparak ve örnek problemler çözerek konuyu pekiştirmenizi öneririm. Başarılar dilerim! ✨