🎓 7. Sınıf Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri Test 6 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 7. sınıf matematik müfredatında yer alan rasyonel sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini, bu işlemlerin temel kurallarını, özelliklerini ve günlük hayatta karşılaşılan problem çözümlerini kapsamaktadır. Testteki soruları başarıyla çözebilmek için gerekli tüm bilgileri ve pratik ipuçlarını burada bulabilirsin. Hazırsan, rasyonel sayılar dünyasına dalalım!

1. Rasyonel Sayılarda İşaret Kuralları ➕➖

Rasyonel sayılarla çarpma ve bölme işlemleri yaparken, tam sayılardaki işaret kuralları geçerlidir. Unutma: aynı işaretlilerin çarpımı/bölümü pozitif, farklı işaretlilerin çarpımı/bölümü negatiftir!

• Pozitif (+) × Pozitif (+) = Pozitif (+)
  Örnek: $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$
• Negatif (-) × Negatif (-) = Pozitif (+)
  Örnek: $(-\frac{1}{2}) \times (-\frac{3}{4}) = \frac{3}{8}$
• Pozitif (+) × Negatif (-) = Negatif (-)
  Örnek: $\frac{1}{2} \times (-\frac{3}{4}) = -\frac{3}{8}$
• Negatif (-) × Pozitif (+) = Negatif (-)
  Örnek: $(-\frac{1}{2}) \times \frac{3}{4} = -\frac{3}{8}$
• Aynı kurallar bölme işlemi için de geçerlidir.
• Pozitif (+) ÷ Pozitif (+) = Pozitif (+)
  Örnek: $\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = 2$
• Negatif (-) ÷ Negatif (-) = Pozitif (+)
  Örnek: $(-\frac{1}{2}) \div (-\frac{1}{4}) = 2$
• Pozitif (+) ÷ Negatif (-) = Negatif (-)
  Örnek: $\frac{1}{2} \div (-\frac{1}{4}) = -2$
• Negatif (-) ÷ Pozitif (+) = Negatif (-)
  Örnek: $(-\frac{1}{2}) \div \frac{1}{4} = -2$

⚠️ Dikkat: İşaretleri belirledikten sonra, sanki pozitif sayılarla işlem yapıyormuş gibi çarpma veya bölme yapabilirsin. İşaret hatası yapmamak için önce işareti belirle!

2. Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi ✖️

İki rasyonel sayıyı çarpmak için çok basit bir kuralımız var:

• Paylar kendi arasında çarpılıp sonucun payına yazılır.
• Paydalar kendi arasında çarpılıp sonucun paydasına yazılır.
• İşaret kurallarına göre sonucun işareti belirlenir.
• Örnek: $\frac{3}{8} \times (-\frac{2}{5})$ işlemi için önce işareti belirleyelim: (+) × (-) = (-). Sonra sayıları çarpalım: $\frac{3 \times 2}{8 \times 5} = \frac{6}{40}$. Sadeleştirirsek $\frac{3}{20}$. Sonuç: $-\frac{3}{20}$.

💡 İpucu: Çarpma işleminden önce veya sonra sadeleştirme yapabilirsin. Genellikle işlemden önce sadeleştirme yapmak, sayıları küçülttüğü için işlem kolaylığı sağlar. Paydaki bir sayı ile paydadaki bir sayı çapraz olarak sadeleştirilebilir.

• Örnek: $\frac{3}{8} \times \frac{2}{5}$ işleminde, 2 ve 8 sayıları 2 ile sadeleşebilir. $\frac{3}{\cancel{8}_4} \times \frac{\cancel{2}_1}{5} = \frac{3 \times 1}{4 \times 5} = \frac{3}{20}$. Gördüğün gibi, daha büyük sayılarla uğraşmaktan kurtulduk!

3. Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemi ➗

Rasyonel sayılarla bölme işlemi, aslında çarpma işlemine dönüştürülerek yapılır. İşte adımlar:

• Birinci rasyonel sayı (bölünen) aynen yazılır.
• İkinci rasyonel sayının (bölen) çarpma işlemine göre tersi bulunur. (Pay ile payda yer değiştirir.)
• Bölme işlemi, çarpma işlemine dönüştürülerek yeni sayılar çarpılır.
• İşaret kuralları uygulanır.
• Örnek: $\frac{2}{7} \div \frac{1}{3}$ işlemi için, birinci sayı $\frac{2}{7}$ aynen kalır. İkinci sayı $\frac{1}{3}$'ün çarpma işlemine göre tersi $\frac{3}{1}$'dir. Şimdi çarpma yapalım: $\frac{2}{7} \times \frac{3}{1} = \frac{2 \times 3}{7 \times 1} = \frac{6}{7}$.
• Örnek: $(-\frac{2}{5}) \div (-\frac{1}{5})$ işlemi için, önce işareti belirleyelim: (-) ÷ (-) = (+). Sonra sayıları bölelim: $\frac{2}{5} \times \frac{5}{1} = \frac{2 \times \cancel{5}_1}{\cancel{5}_1 \times 1} = \frac{2}{1} = 2$.

⚠️ Dikkat: Bölme işleminde sadece bölen sayının (ikinci sayının) tersi alınır, bölünen sayının (birinci sayının) değil!

4. Tam Sayılı Kesirler ve Ondalık Sayılarla İşlemler 🔢

Rasyonel sayılarla işlem yaparken tam sayılı kesirler veya ondalık sayılarla karşılaşabilirsin. Bunları bileşik kesre çevirmek işini kolaylaştıracaktır.

• Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre Çevirme: Tam kısım ile paydayı çarp, payı ekle. Payda aynı kalır.
• Örnek: $1\frac{3}{10}$ kesrini bileşik kesre çevirelim. $(1 \times 10) + 3 = 13$. Payda 10. Yani $\frac{13}{10}$.
• Ondalık Sayıyı Kesre Çevirme: Sayıyı virgülsüz olarak paya yaz. Paydaya ise virgülden sonra kaç basamak varsa o kadar sıfırlı 10'un kuvvetini yaz (10, 100, 1000...).
• Örnek: $0,1 = \frac{1}{10}$. $0,06 = \frac{6}{100}$. $15,75 = \frac{1575}{100}$.

💡 İpucu: Ondalık sayılarla bölme yaparken, bölen sayıyı tam sayı yapmak için her iki sayıyı da 10'un kuvvetleriyle genişletebilirsin. Örneğin, $\frac{2}{-0,1}$ işlemi için pay ve paydayı 10 ile çarparız: $\frac{2 \times 10}{-0,1 \times 10} = \frac{20}{-1} = -20$.

5. Rasyonel Sayıların Özellikleri ve Tersleri 🔄

Rasyonel sayılar da bazı önemli özelliklere sahiptir:

• Çarpma İşlemine Göre Tersi (Çarpmaya Göre Ters): Bir sayının çarpmaya göre tersi, kendisiyle çarpıldığında sonucu 1 yapan sayıdır. Pay ile paydanın yer değiştirmesiyle bulunur. İşareti değişmez.
• Örnek: $\frac{3}{5}$ sayısının çarpmaya göre tersi $\frac{5}{3}$'tür. $5$'in çarpmaya göre tersi $\frac{1}{5}$'tir. $(-\frac{2}{3})$'ün çarpmaya göre tersi $(-\frac{3}{2})$'dir.
• Toplama İşlemine Göre Tersi (Toplamaya Göre Ters): Bir sayının toplamaya göre tersi, kendisiyle toplandığında sonucu 0 yapan sayıdır. Sayının işaretinin değişmesiyle bulunur.
• Örnek: $\frac{3}{5}$ sayısının toplamaya göre tersi $-\frac{3}{5}$'tir. $-5$'in toplamaya göre tersi $5$'tir.
• -1 ile Çarpma İlişkisi: Bir sayıyı $-1$ ile çarpmak, o sayının toplama işlemine göre tersini almakla aynıdır.
• Örnek: $5 \times (-1) = -5$. Bu, $5$'in toplama işlemine göre tersidir.
• Bölme ve Çarpma Arasındaki İlişki: Bir sayıyı bir sayıya bölmek, o sayıyı bölenin çarpmaya göre tersiyle çarpmak demektir.
• Örnek: Bir sayıyı $5$'e bölmek, o sayıyı $\frac{1}{5}$ ile çarpmakla aynıdır. $10 \div 5 = 2$ ve $10 \times \frac{1}{5} = 2$.

6. Sayı Doğrusunda Rasyonel Sayılar ve İşlemler 📏

Sayı doğrusu, rasyonel sayıları görselleştirmek ve işlemlerini anlamak için harika bir araçtır.

• İki tam sayı arası eşit parçalara bölünerek rasyonel sayılar gösterilir. Eğer her iki tam sayı arası 5 eş parçaya bölünmüşse, her bir parça $\frac{1}{5}$'i temsil eder.
• Örnek: $-1$ ile $-2$ arası 5 eş parçaya bölünmüşse, $-1$'den sonraki ilk çizgi $-1\frac{1}{5}$ veya $-\frac{6}{5}$'i gösterir.
• Çarpma işlemi, sayı doğrusunda tekrarlı toplama olarak modellenebilir. Örneğin, $3 \times \frac{6}{5}$ demek, $\frac{6}{5}$'i 3 kez art arda eklemek demektir.
• Sayı doğrusunda pozitif yöne hareket etmek artış, negatif yöne hareket etmek azalış anlamına gelir.

7. Rasyonel Sayılarla Problem Çözme Stratejileri 🧩

Karşına çıkan problemleri çözmek için şu adımları izleyebilirsin:

• Problemi Anla: Ne isteniyor? Hangi bilgiler verilmiş?
• Plan Yap: Hangi işlemleri yapman gerekiyor (çarpma, bölme, toplama, çıkarma)? Tam sayılı kesirleri veya ondalık sayıları bileşik kesre çevirmen gerekiyor mu?
• Uygula: Planını adım adım uygula. İşlem önceliğine dikkat et.
• Kontrol Et: Sonucun mantıklı olup olmadığını kontrol et. Gerekirse baştan çözümü gözden geçir.
• Günlük hayattan örnekler: Bir karpuzu dilimlere ayırmak (bölme), bir fidanın büyüme miktarını hesaplamak (çarpma ve toplama), bir kumaşın veya pantolonun uzunluğunu bulmak (toplama/çıkarma).

Bu ders notları ve ipuçları, rasyonel sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini daha iyi anlamana ve testteki soruları daha kolay çözmene yardımcı olacaktır. Başarılar dilerim! 💪