🎓 7. Sınıf Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri Test 1 - Ders Notu ve İpuçları

Sevgili 7. sınıf öğrencileri, rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri, matematiğin temel taşlarından biridir. Bu konuyu iyi anlamak, ilerideki matematik konularında size büyük kolaylık sağlayacaktır. Hazırladığınız testteki soruları temel alarak, konunun önemli noktalarını ve dikkat etmeniz gereken yerleri bu ders notunda bulabilirsiniz. Hadi başlayalım!

🔢 Rasyonel Sayı Nedir?

• Bir tam sayı ile sıfırdan farklı bir tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Genellikle $ \frac{a}{b} $ şeklinde gösterilir, burada $b \neq 0$ olmalıdır.
• Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Örneğin, $3 = \frac{3}{1}$.
• Ondalık gösterimler de rasyonel sayıdır. Örneğin, $0.5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

➕ Rasyonel Sayılarla Toplama İşlemi

• Paydalar Eşitse: Paydaları eşit olan rasyonel sayılar toplanırken, paylar toplanır ve ortak payda aynen yazılır.
  Örnek: $ \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5} $
• Paydalar Farklıysa: Paydaları farklı olan rasyonel sayılar toplanırken, önce paydalar ortak bir sayıda eşitlenir (genellikle en küçük ortak katları bulunur). Daha sonra paydalar eşitlenmiş rasyonel sayılar gibi toplama işlemi yapılır.
  Örnek: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} $ işleminde paydalar 6'da eşitlenir. $ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} $
• Tam Sayılı Kesirlerle Toplama: Tam sayılı kesirleri toplarken, önce bileşik kesre çevirebilir veya tam kısımları kendi arasında, kesir kısımlarını kendi arasında toplayabilirsiniz.
  Örnek: $ 1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{3} = \frac{3}{2} + \frac{7}{3} = \frac{9}{6} + \frac{14}{6} = \frac{23}{6} = 3\frac{5}{6} $
• Ondalık Gösterimli Sayılarla Toplama: Ondalık gösterimli sayıları toplarken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve normal toplama işlemi yapılır. İsterseniz kesre çevirip de işlem yapabilirsiniz.
  Örnek: $ 1.25 + 0.75 = 2.00 $ veya $ \frac{125}{100} + \frac{75}{100} = \frac{200}{100} = 2 $
• ⚠️ Dikkat: Negatif rasyonel sayılarla toplama yaparken tam sayılardaki toplama kurallarını unutmayın. Aynı işaretliler toplanır, ortak işaret verilir; farklı işaretliler çıkarılır, büyüğün işareti verilir.
  Örnek: $ -\frac{1}{4} + (-\frac{3}{4}) = -\frac{4}{4} = -1 $
  Örnek: $ \frac{3}{5} + (-\frac{1}{5}) = \frac{3-1}{5} = \frac{2}{5} $

➖ Rasyonel Sayılarla Çıkarma İşlemi

• Çıkarma İşleminin Toplamaya Dönüştürülmesi: Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi, çıkan sayının toplama işlemine göre tersi ile toplama işlemine dönüştürülerek yapılır.
  Yani, $ a - b = a + (-b) $
  Örnek: $ \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + (-\frac{2}{4}) = \frac{1}{4} $
• Paydalar Eşitse: Paydaları eşit olan rasyonel sayılar çıkarılırken, paylar çıkarılır ve ortak payda aynen yazılır.
  Örnek: $ \frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7-2}{9} = \frac{5}{9} $
• Paydalar Farklıysa: Paydaları farklı olan rasyonel sayılar çıkarılırken, önce paydalar eşitlenir, sonra toplama işlemine dönüştürülerek veya doğrudan paylar çıkarılarak işlem yapılır.
  Örnek: $ \frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $
• Tam Sayılı Kesirlerle Çıkarma: Tam sayılı kesirleri çıkarırken, bileşik kesre çevirip işlem yapmak genellikle daha kolaydır.
  Örnek: $ 2\frac{1}{4} - 1\frac{1}{2} = \frac{9}{4} - \frac{3}{2} = \frac{9}{4} - \frac{6}{4} = \frac{3}{4} $
• Ondalık Gösterimli Sayılarla Çıkarma: Ondalık gösterimli sayıları çıkarırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve normal çıkarma işlemi yapılır.
  Örnek: $ 3.7 - 1.2 = 2.5 $
• ⚠️ Dikkat: Eksinin eksi ile çarpımı artıdır. $ -(-a) = +a $ kuralını unutmayın. Özellikle $ A - (-\frac{1}{20}) $ gibi ifadelerde $ A + \frac{1}{20} $ olur.

📏 Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterilmesi

• Sayı doğrusunda iki tam sayı arası, paydadaki sayı kadar eş parçaya bölünür. Sayı doğrusunun sağ tarafı pozitif, sol tarafı negatiftir.
  Örnek: $ \frac{3}{4} $ sayısını göstermek için 0 ile 1 arası 4 eş parçaya bölünür ve 0'dan sonraki 3. nokta işaretlenir.
• Negatif rasyonel sayılar için 0'ın soluna doğru ilerlenir.
  Örnek: $ -\frac{1}{2} $ sayısını göstermek için 0 ile -1 arası 2 eş parçaya bölünür ve 0'dan sonraki 1. nokta işaretlenir.
• 💡 İpucu: Sayı doğrusunda verilen noktaların değerlerini bulurken, hangi tam sayılar arasında olduğuna ve kaç eş parçaya bölündüğüne dikkat edin.

↔️ Rasyonel Sayılarda İşlem Özellikleri (Değişme Özelliği)

• Rasyonel sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır. Yani, sayıların yerleri değişse de sonuç değişmez.
  $ a + b = b + a $
  Örnek: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} $

📊 Rasyonel Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama

• Rasyonel sayıları karşılaştırırken veya sıralarken paydaları eşitlemek en pratik yoldur. Paydalar eşitlendikten sonra payı büyük olan sayı daha büyüktür.
  Örnek: $ \frac{1}{3} $ ve $ \frac{2}{5} $ sayılarını karşılaştıralım. Paydaları 15'te eşitlersek: $ \frac{1}{3} = \frac{5}{15} $ ve $ \frac{2}{5} = \frac{6}{15} $. Görüldüğü gibi $ \frac{6}{15} > \frac{5}{15} $, yani $ \frac{2}{5} > \frac{1}{3} $.
• Negatif Rasyonel Sayıları Karşılaştırma: Negatif rasyonel sayılarda durum tersine döner. Paydalar eşitse, payı küçük olan sayı daha büyüktür (çünkü 0'a daha yakındır).
  Örnek: $ -\frac{1}{2} $ ve $ -\frac{1}{3} $ sayılarını karşılaştıralım. Paydaları 6'da eşitlersek: $ -\frac{1}{2} = -\frac{3}{6} $ ve $ -\frac{1}{3} = -\frac{2}{6} $. Burada $ -\frac{2}{6} > -\frac{3}{6} $ olduğu için $ -\frac{1}{3} > -\frac{1}{2} $.
• 💡 İpucu: Negatif rasyonel sayıları sıralarken, önce pozitif gibi düşünüp sıralayın, sonra sıralamayı tersine çevirin.

🧮 Parantezli İşlemler ve İşlem Önceliği

• Birden fazla işlem içeren ifadelerde, işlem önceliği kurallarına uyulur:
  1. Parantez içindeki işlemler önce yapılır.
  2. Üslü ifadeler.
  3. Çarpma veya Bölme (soldan sağa doğru).
  4. Toplama veya Çıkarma (soldan sağa doğru).
• Rasyonel sayılarla işlem yaparken de bu sıralama geçerlidir.
  Örnek: $ (\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \frac{1}{8} $ işleminde önce parantez içi yapılır: $ (\frac{2}{4} + \frac{1}{4}) - \frac{1}{8} = \frac{3}{4} - \frac{1}{8} = \frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8} $

🔄 Farklı Gösterimdeki Rasyonel Sayılarla İşlemler

• Bir problemde kesir, ondalık gösterim ve tam sayılı kesir bir arada verilmişse, genellikle hepsini aynı gösterime (genellikle bileşik kesre) çevirmek işlemleri kolaylaştırır.
  Örnek: $ 3.25 + \frac{19}{4} + 1\frac{1}{2} $ gibi bir ifadede: $ 3.25 = \frac{325}{100} = \frac{13}{4} $ $ 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} $ Hepsini kesre çevirip payda eşitleyerek toplama yapabilirsiniz.

🧩 Rasyonel Sayılarla Problem Çözme

• Gerçek hayat problemlerinde (çevre hesaplama, puanlama vb.) rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri sıkça kullanılır.
• Problemi dikkatlice okuyun ve verilen bilgileri doğru bir şekilde matematiksel ifadelere dönüştürün.
• İşlem adımlarını sırasıyla takip edin ve her adımda doğru hesaplamalar yaptığınızdan emin olun.
• 💡 İpucu: Özellikle uzun problemlerde, adımları küçük parçalara ayırarak ilerlemek hata yapma olasılığınızı azaltır.

Bu ders notu, rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerinde karşılaşabileceğiniz tüm temel konuları ve önemli noktaları özetlemektedir. Testinizdeki her bir soru, bu notta bahsedilen bir veya daha fazla konuyu pekiştirmenize yardımcı olacaktır. Başarılar dilerim!