Sorunun Çözümü
- Verilen ondalık gösterimi kesre çevirelim: $-0.\overline{63} = -\frac{63}{99} = -\frac{7}{11}$.
- Başlangıç kesri $3/4$'tür. Kırmızı butona $x$ kez basıldığında pay $3+2x$ olur. Yeşil butona $y$ kez basıldığında payda $4-3y$ olur.
- Elde edilen kesir $\frac{3+2x}{4-3y}$'dir. Bu kesir $-\frac{7}{11}$'e eşit olmalıdır.
- Kesrin negatif olması ve payın ($3+2x$) pozitif olması nedeniyle payda ($4-3y$) negatif olmalıdır. Bu durumda $4-3y < 0 \implies 3y > 4 \implies y > 4/3$. $y$ bir tam sayı olduğundan, $y$'nin alabileceği en küçük değer $2$'dir.
- Denklemi kuralım: $\frac{3+2x}{4-3y} = -\frac{7}{11}$. İçler dışlar çarpımı yaparsak $11(3+2x) = -7(4-3y)$ elde ederiz.
- Denklemi düzenleyelim: $33+22x = -28+21y \implies 22x - 21y = -61$.
- $x$ ve $y$ pozitif tam sayılar olmalıdır. $y \ge 2$ koşulunu kullanarak $y$ değerlerini deneyelim:
- Eğer $y=2$ ise: $22x - 21(2) = -61 \implies 22x - 42 = -61 \implies 22x = -19$. $x$ tam sayı değildir.
- Eğer $y=3$ ise: $22x - 21(3) = -61 \implies 22x - 63 = -61 \implies 22x = 2$. $x$ tam sayı değildir.
- Eğer $y=4$ ise: $22x - 21(4) = -61 \implies 22x - 84 = -61 \implies 22x = 23$. $x$ tam sayı değildir.
- Eğer $y=5$ ise: $22x - 21(5) = -61 \implies 22x - 105 = -61 \implies 22x = 44 \implies x = 2$.
- İlk geçerli tam sayı çözümü $x=2$ ve $y=5$'tir.
- Toplam basma sayısı $x+y = 2+5 = 7$. Bu, en küçük $y$ değerinden başlandığı için minimum toplam basma sayısıdır.
- Doğru Seçenek C'dır.