7. Sınıf Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi 📚

Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün matematik dünyasının en temel ve en kullanışlı konularından biri olan rasyonel sayıların ondalık gösterimini derinlemesine inceleyeceğiz. Rasyonel sayılar, kesirler ve ondalık sayılar aslında aynı sayının farklı ifadeleridir. Gelin, bu ifadeler arasındaki geçişleri ve özellikle devirli ondalık gösterimleri nasıl anlayacağımızı ve kullanacağımızı keşfedelim! ✨

Rasyonel Sayı Nedir? 🤔

Rasyonel sayılar, a bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, `$\frac{a}{b}$` şeklinde yazılabilen sayılardır. Yani, kesir olarak ifade edilebilen her sayı bir rasyonel sayıdır. Tam sayılar, doğal sayılar ve hatta ondalık sayılar bile rasyonel sayı olabilirler. Örneğin, `$\frac{1}{2}$`, `$-3$`, `$\frac{7}{4}$` ve `$-0,5$` birer rasyonel sayıdır.

Ondalık Gösterim Nedir? 🔢

Bir rasyonel sayının payının paydaya bölünmesiyle elde edilen virgülden sonra basamakları olan sayılara ondalık gösterim denir. Günlük hayatta fiyat etiketlerinde, ölçümlerde (boy, kilo vb.) sıkça karşımıza çıkar. Örneğin, 1 kilogram elmanın yarısı `$\frac{1}{2}$` kg'dır ve bunu ondalık olarak `$\mathbf{0,5}$` kg şeklinde ifade ederiz.

Rasyonel Sayıları Ondalık Sayıya Çevirme Yöntemleri 🔄

Bir rasyonel sayıyı ondalık sayıya çevirmenin iki temel yolu vardır:

• Payı Paydaya Bölme Yöntemi: En genel ve her zaman işe yarayan yöntemdir. Kesrin payını (üstteki sayı) paydasına (alttaki sayı) bölersiniz. Bölme işlemi sonucunda ya kalan sıfır olur (sonlu ondalık) ya da belirli bir basamak grubu tekrar etmeye başlar (devirli ondalık).
• Paydayı 10, 100, 1000 Yapma Yöntemi: Eğer kesrin paydasını uygun bir sayıyla çarparak 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvveti yapabiliyorsak, bu yöntemi kullanırız. Bu yöntem sadece sonlu ondalık gösterimi olan sayılar için geçerlidir. Örneğin, `$\frac{3}{5}$` kesrinin paydasını 2 ile çarparak 10 yapabiliriz: `$\frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} = 0,6$`.

Sonlu Ondalık Gösterimler 🎯

Bir rasyonel sayının ondalık gösteriminde virgülden sonraki basamaklar belirli bir noktada bitiyorsa, bu tür ondalık gösterimlere sonlu ondalık gösterim denir. Paydası 2 ve 5'in kuvvetlerinden oluşan (veya sadece 2 ya da sadece 5'in kuvveti olan) kesirler sonlu ondalık gösterime sahiptir.

• Örnek 1: `$\frac{1}{4}$` kesrini ondalık olarak gösterelim. Payı paydaya böldüğümüzde `$\frac{1}{4} = 0,25$` buluruz. Alternatif olarak, paydayı 100 yapmak için hem payı hem paydayı 25 ile çarparız: `$\frac{1 \times 25}{4 \times 25} = \frac{25}{100} = 0,25$`.
• Örnek 2: `$\frac{7}{20}$` kesrini ondalık olarak gösterelim. Payı paydaya böldüğümüzde `$\frac{7}{20} = 0,35$` buluruz. Alternatif olarak, paydayı 100 yapmak için hem payı hem paydayı 5 ile çarparız: `$\frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac{35}{100} = 0,35$`.

Devirli (Tekrar Eden) Ondalık Gösterimler 🔁

Bazı rasyonel sayıları ondalık sayıya çevirdiğimizde, virgülden sonraki basamakların sonsuza kadar tekrar ettiğini görürüz. Bu tür ondalık gösterimlere devirli ondalık gösterim denir. Bir kesrin paydasının asal çarpanları arasında 2 ve 5 dışında başka bir asal sayı varsa (örneğin 3, 7, 11 gibi), o kesir devirli ondalık gösterime sahip olur.

• Gösterimi: Tekrar eden basamakların veya basamak grubunun üzerine kısa bir çizgi `$\overline{\hspace{0.5em}}$` çekilerek gösterilir. Örneğin, `$\frac{1}{3}$` kesrini böldüğümüzde `0,333...` elde ederiz. Bunu `$\mathbf{0,\overline{3}}$` şeklinde yazarız.
• Örnek 1: `$\frac{2}{3}$` kesrini ondalık olarak gösterelim. 2'yi 3'e böldüğümüzde `0,666...` şeklinde devam ettiğini görürüz. Bu durumda `$\mathbf{0,\overline{6}}$` olarak yazarız.
• Örnek 2: `$\frac{5}{11}$` kesrini ondalık olarak gösterelim. 5'i 11'e böldüğümüzde `0,454545...` şeklinde devam ettiğini görürüz. Burada 45 tekrar eden basamak grubudur. Bu durumda `$\mathbf{0,\overline{45}}$` olarak yazarız.
• Örnek 3: `$\frac{7}{6}$` kesrini ondalık olarak gösterelim. 7'yi 6'ya böldüğümüzde `1,1666...` şeklinde devam ettiğini görürüz. Burada sadece 6 rakamı tekrar etmektedir. Bu durumda `$\mathbf{1,1\overline{6}}$` olarak yazarız.

Devirli Ondalık Sayıları Rasyonel Sayıya Çevirme 🔙

Devirli ondalık sayıları tekrar kesir haline getirmek için özel bir kural kullanırız. Bu kuralı bilmek, hem soruları çözmede hem de konuyu daha iyi anlamada çok önemlidir! 🧠

Kural: `$\mathbf{\frac{\text{Sayının tamamı} - \text{Devretmeyen kısım}}{\text{Virgülden sonra devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0}}}$`

• Örnek 1: `$\mathbf{0,\overline{3}}$` sayısını rasyonel sayıya çevirelim. Sayının tamamı 3, devretmeyen kısım 0'dır. Virgülden sonra 1 devreden basamak (3) ve 0 devretmeyen basamak vardır. O halde: `$\frac{3 - 0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$`.
• Örnek 2: `$\mathbf{1,\overline{2}}$` sayısını rasyonel sayıya çevirelim. Sayının tamamı 12, devretmeyen kısım 1'dir. Virgülden sonra 1 devreden basamak (2) ve 0 devretmeyen basamak vardır. O halde: `$\frac{12 - 1}{9} = \frac{11}{9}$`.
• Örnek 3: `$\mathbf{0,1\overline{6}}$` sayısını rasyonel sayıya çevirelim. Sayının tamamı 16, devretmeyen kısım 1'dir. Virgülden sonra 1 devreden basamak (6) ve 1 devretmeyen basamak (1) vardır. O halde: `$\frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$`.

Özet ve Unutulmaması Gerekenler! ⭐

• Rasyonel sayılar, `$\frac{a}{b}$` şeklinde yazılabilen sayılardır.
• Rasyonel sayıları ondalık sayıya çevirirken payı paydaya böleriz.
• Eğer bölme işlemi biterse (kalan 0 olursa), bu sonlu ondalık gösterimdir. Paydanın asal çarpanları sadece 2 ve 5'tir.
• Eğer bölme işlemi bitmez ve virgülden sonraki basamaklar tekrar etmeye başlarsa, bu devirli ondalık gösterimdir. Paydanın asal çarpanları arasında 2 ve 5 dışında başka asal çarpanlar vardır.
• Devirli ondalık gösterimlerde tekrar eden basamakların üzerine çizgi `$\overline{\hspace{0.5em}}$` çekilir.
• Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirirken `$\mathbf{\frac{\text{Sayının tamamı} - \text{Devretmeyen kısım}}{\text{Virgülden sonra devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0}}}$` kuralını unutma!

Unutmayın, matematik pratikle gelişir! Bol bol örnek çözerek ve bu kuralları uygulayarak konuyu pekiştirebilirsiniz. Başarılar dilerim! 💪