🎓 7. Sınıf Rasyonel Sayılar (Rasyonel Sayıları Belirleme ve Sayı Doğrusunda Gösterme) Test 2 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, rasyonel sayıların temel tanımını, sayı doğrusunda nasıl gösterildiğini, farklı gösterimlerini ve rasyonel sayılarla ilgili kritik noktaları kapsar. Özellikle, bir sayının rasyonel olup olmadığını belirleme, sayı doğrusunda yerini bulma ve bu kavramlarla ilgili sıkça karşılaşılan soru tiplerine yönelik ipuçları içerir. Hazırsan, rasyonel sayılar dünyasına dalalım! 🚀

Rasyonel Sayı Nedir? 🤔

• Bir sayının rasyonel sayı olabilmesi için $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilmesi gerekir. Burada a ve b birer tam sayı olmalı ve en önemlisi b (payda) kesinlikle sıfır olmamalıdır ($b \neq 0$).
• Örnekler:
  • Tam Sayılar: Her tam sayı bir rasyonel sayıdır. Örneğin, -12 sayısını $\frac{-12}{1}$ olarak yazabiliriz.
  • Ondalık Sayılar: Her ondalık sayı bir rasyonel sayıdır. Örneğin, 0,5 sayısını $\frac{5}{10}$ veya sadeleştirilmiş haliyle $\frac{1}{2}$ olarak yazabiliriz.
  • Kesirler: Zaten $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılmış sayılar doğrudan rasyonel sayıdır. Örneğin, $\frac{-3}{4}$.
  • Sıfır: Sıfır da bir rasyonel sayıdır. Örneğin, $\frac{0}{10}$ ifadesi 0'a eşittir ve rasyoneldir.
• ⚠️ Dikkat: Bir kesrin paydası sıfır olursa, o ifade tanımsız olur ve rasyonel sayı değildir! Örneğin, $\frac{5}{0}$ bir rasyonel sayı değildir. Bu, matematikte "yasak" bir durumdur. 🚫

Rasyonel Sayıların İşaretleri ve Farklı Gösterimleri ➕➖

• Bir rasyonel sayının işareti, kesrin önünde, payında veya paydasında olabilir. Bu üç gösterim de aynı anlama gelir.
  • Örneğin, $-\frac{2}{7}$, $\frac{-2}{7}$ ve $\frac{2}{-7}$ ifadeleri birbirine eşittir ve hepsi negatif bir rasyonel sayıyı temsil eder.
• Tam Sayılı Kesirler: Bir tam sayı ve bir basit kesirden oluşan sayılardır. Örneğin, $1\frac{1}{2}$.
• Bileşik Kesirler: Payı paydasından mutlak değerce büyük veya eşit olan kesirlerdir. Örneğin, $\frac{3}{2}$.
• Dönüşümler: Rasyonel sayılar arasında kolayca geçiş yapabilmelisin.
  • Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirme: $1\frac{1}{2} = \frac{(1 \times 2) + 1}{2} = \frac{3}{2}$
  • Bileşik kesri tam sayılı kesre çevirme: $\frac{15}{2}$ kesrini $15 \div 2 = 7$ kalan $1$ olduğundan $7\frac{1}{2}$ olarak yazabiliriz.

Rasyonel Sayıları Sayı Doğrusunda Gösterme 📏

• Adım 1: Tam Sayı Aralığını Belirle. Rasyonel sayının hangi iki tam sayı arasında olduğunu bul.
  • Pozitif sayılar için: $\frac{5}{3}$ sayısı $1\frac{2}{3}$ demektir, yani 1 ile 2 arasındadır.
  • Negatif sayılar için: $-\frac{14}{5}$ sayısı $-2\frac{4}{5}$ demektir, yani -3 ile -2 arasındadır. (Negatif sayılarda sıfırdan uzaklaştıkça değer küçülür, bu yüzden -2'den sonra -3'e doğru ilerleriz.)
• Adım 2: Aralığı Eşit Parçalara Ayır. Seçtiğin tam sayı aralığını, rasyonel sayının paydası kadar eşit parçaya böl.
  • Örneğin, $\frac{5}{3}$ için 1 ile 2 arasını 3 eşit parçaya böl.
  • $-\frac{14}{5}$ için -3 ile -2 arasını 5 eşit parçaya böl.
• Adım 3: Doğru Noktayı İşaretle. Başlangıç noktasından (tam sayı kısmından) itibaren pay kadar ilerle.
  • Pozitif sayılar için sağa doğru say. $1\frac{2}{3}$ için 1'den sonra 2 parça ilerle.
  • Negatif sayılar için sola doğru say. $-2\frac{4}{5}$ için -2'den sonra (yani -3'e doğru) 4 parça ilerle.
• 💡 İpucu: Sayı doğrusunda işaretleme yaparken, tam sayılı kesir gösterimi işini çok kolaylaştırır. Örneğin, $-\frac{15}{4}$ sayısını $-3\frac{3}{4}$ olarak düşünmek, -4 ile -3 arasında olduğunu ve -3'ten sonra 3 birim (sola doğru) ilerlendiğini anlamana yardımcı olur.

Bir Rasyonel Sayının Hangi Tam Sayılar Arasında Olduğunu Bulma 🎯

• Bir rasyonel sayının hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu bulmak için, o sayıyı tam sayılı kesre çevirebilirsin.
  • Örneğin, $\frac{15}{2}$ sayısı $7\frac{1}{2}$ demektir. Bu sayı 7'den büyük, 8'den küçüktür. Yani 7 ile 8 arasındadır.
  • Negatif sayılar için de aynı mantık geçerlidir. $-\frac{15}{4}$ sayısı $-3\frac{3}{4}$ demektir. Bu sayı -3'ten küçük (daha solda), -4'ten büyüktür (daha sağda). Yani -4 ile -3 arasındadır.

Bir Rasyonel İfadenin Tam Sayı Olma Şartı 🧐

• Bir $\frac{a}{b}$ şeklindeki rasyonel ifadenin tam sayı olabilmesi için, a sayısının b sayısına tam bölünmesi gerekir. Yani pay, paydaya kalansız bölünmelidir.
  • Örneğin, $\frac{a+5}{2}$ ifadesinin tam sayı olması için $a+5$'in 2'ye tam bölünmesi gerekir. Yani $a+5$ çift sayı olmalıdır.
  • $\frac{4}{a}$ ifadesinin tam sayı olması için 4'ün a'ya tam bölünmesi gerekir. Yani a, 4'ün bir çarpanı (böleni) olmalıdır (1, 2, 4, -1, -2, -4).

Rasyonel Sayıların Tanımsız Olma Durumu 🚫

• Bir rasyonel sayı veya rasyonel ifade $\frac{a}{b}$ şeklinde yazıldığında, payda (b) asla sıfır olamaz. Eğer payda sıfır olursa, o ifade tanımsız olur ve bir sayı belirtmez.
  • Örneğin, $\frac{12}{A-5}$ ifadesinin rasyonel sayı olabilmesi için $A-5 \neq 0$ olmalıdır. Bu durumda $A \neq 5$ olmalıdır. Yani A yerine 5 yazılamaz.

Bu notları dikkatlice okuyup anladığında, rasyonel sayılarla ilgili karşına çıkabilecek çoğu soruyu rahatlıkla çözebilirsin. Bol pratik yapmayı unutma! 💪