Sevgili öğrenciler, bu ders notu "Tam Sayılarla İşlemler" ünitesindeki temel kavramları ve işlem becerilerini pekiştirmeniz için hazırlandı. Bu test, tam sayıların ne olduğundan başlayarak, tam sayılarla toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üslü ifadeler gibi konuları kapsıyor. Ayrıca işlem önceliği ve günlük hayat problemlerini çözme yeteneğinizi de ölçüyor. Bu notları dikkatlice okuyarak konuları tekrar edebilir, sık yapılan hatalardan kaçınmak için önemli ipuçlarını öğrenebilirsiniz. İyi çalışmalar! 🚀

Tam Sayılar ve Sayı Doğrusu 🔢

• Tam sayılar, pozitif doğal sayılar (+1, +2, +3, ...), negatif doğal sayılar (..., -3, -2, -1) ve sıfırdan (0) oluşan sayı kümesidir. "Z" sembolü ile gösterilir.
• Sıfır, ne pozitif ne de negatiftir.
• Sayı doğrusunda sıfırın sağında pozitif tam sayılar, solunda ise negatif tam sayılar bulunur. Sayılar sağa doğru büyür, sola doğru küçülür.
• Mutlak Değer: Bir tam sayının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktası (sıfır) olan uzaklığına mutlak değer denir. Mutlak değer asla negatif olamaz. |a| şeklinde gösterilir. Örneğin, |-5| = 5 ve |+5| = 5'tir.

Tam Sayılarla Toplama İşlemi ➕

• Aynı İşaretli Tam Sayıları Toplama: Sayıların mutlak değerleri toplanır ve ortak işaret sonuca yazılır.
  Örnek: (-3) + (-5) = -8 (3 ve 5 toplanır, ortak işaret olan '-' yazılır.)
• Farklı İşaretli Tam Sayıları Toplama: Sayıların mutlak değerleri arasındaki fark bulunur. Mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca yazılır.
  Örnek: (-7) + (+13) = +6 (13'ten 7 çıkarılır, mutlak değeri büyük olan 13'ün işareti '+' yazılır.)
  Örnek: (+4) + (-9) = -5 (9'dan 4 çıkarılır, mutlak değeri büyük olan 9'un işareti '-' yazılır.)
• Toplama İşleminin Özellikleri:
  • Değişme Özelliği: Sayıların yerleri değişse de sonuç değişmez. a + b = b + a.
  • Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla sayı toplanırken, hangi ikisinin önce toplandığı önemli değildir. (a + b) + c = a + (b + c).
  • Etkisiz Eleman (Birim Eleman): Toplama işleminde etkisiz eleman 0'dır. Bir sayıyı 0 ile toplamak sayıyı değiştirmez. a + 0 = a.
  • Ters Eleman: Bir tam sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının işaret değiştirmiş halidir. Bir sayı ile tersi toplandığında sonuç 0 olur. a + (-a) = 0.

⚠️ Dikkat: Farklı işaretli sayıları toplarken "çıkarma" işlemi yapıyormuş gibi düşünebilirsin, ama unutma, sonuca mutlak değeri büyük olanın işaretini veriyoruz! 🤔

Tam Sayılarla Çıkarma İşlemi ➖

• Tam sayılarda çıkarma işlemi, çıkan sayının işaretini değiştirip toplama işlemine dönüştürülerek yapılır.
  a - b = a + (-b)
  Örnek: (+5) - (+8) = (+5) + (-8) = -3
  Örnek: (-10) - (-4) = (-10) + (+4) = -6

💡 İpucu: "Eksi eksi yan yana gelince artı olur" kuralını unutma! Bu, aslında çıkan sayının ters işaretlisini almak demektir. 😉

Tam Sayılarla Çarpma İşlemi ✖️

• İşaret Kuralları:
  • Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı pozitiftir. (+) . (+) = (+) veya (-) . (-) = (+).
  • Farklı işaretli iki tam sayının çarpımı negatiftir. (+) . (-) = (-) veya (-) . (+) = (-).
• Çarpma İşleminin Özellikleri:
  • Değişme Özelliği: Sayıların yerleri değişse de sonuç değişmez. a . b = b . a.
  • Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla sayı çarpılırken, hangi ikisinin önce çarpıldığı önemli değildir. (a . b) . c = a . (b . c).
  • Etkisiz Eleman (Birim Eleman): Çarpma işleminde etkisiz eleman 1'dir. Bir sayıyı 1 ile çarpmak sayıyı değiştirmez. a . 1 = a.
  • Yutan Eleman: Çarpma işleminde yutan eleman 0'dır. Bir sayıyı 0 ile çarpmak sonucu her zaman 0 yapar. a . 0 = 0.
  • Dağılma Özelliği: Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği vardır. a . (b + c) = (a . b) + (a . c).

Tam Sayılarla Bölme İşlemi ➗

• İşaret Kuralları: Çarpma işlemindeki işaret kurallarıyla aynıdır.
  • Aynı işaretli iki tam sayının bölümü pozitiftir. (+) ÷ (+) = (+) veya (-) ÷ (-) = (+).
  • Farklı işaretli iki tam sayının bölümü negatiftir. (+) ÷ (-) = (-) veya (-) ÷ (+) = (-).
• Sıfırın bir sayıya bölümü 0'dır (0 ÷ a = 0, a ≠ 0). Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır (a ÷ 0 = tanımsız).

⚠️ Dikkat: Çarpma ve bölme işlemlerinde işaretleri doğru belirlemek çok önemli! İki eksi yan yana gelirse artı olur, bir eksi bir artı yan yana gelirse eksi olur. Bu kuralı aklından çıkarma! 🧠

Tam Sayıların Kuvvetleri (Üslü İfadeler) 📈

• Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımına üslü ifade denir. Örneğin, $a^n = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a$ (n tane a'nın çarpımı).
• Pozitif Sayıların Kuvvetleri: Her zaman pozitiftir.
  Örnek: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
• Negatif Sayıların Kuvvetleri:
  • Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitiftir.
    Örnek: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = +9$.
  • Negatif bir sayının tek kuvvetleri negatiftir.
    Örnek: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
• Parantez Kullanımı: Negatif sayıların kuvvetleri alınırken parantez kullanılması çok önemlidir.
  • $(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$ (taban -2'dir)
  • $-2^2 = -(2 \cdot 2) = -4$ (taban 2'dir, eksi işareti sonradan eklenir)
• Sıfırıncı Kuvvet: Sıfır hariç her tam sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir. $a^0 = 1$ (a ≠ 0).
  Örnek: $5^0 = 1$, $(-7)^0 = 1$.

⚠️ Dikkat: Negatif sayıların üssü alınırken parantez var mı yok mu, buna çok dikkat et! Bu, sonucun işaretini tamamen değiştirebilir. 🧐

Tam Sayılarla İşlem Önceliği ⚖️

• Birden fazla işlemin olduğu durumlarda işlemler belirli bir sıraya göre yapılır. Bu sıraya işlem önceliği denir.
  1. Parantez İçindeki İşlemler 괄호
  2. Üslü İfadeler $a^b$
  3. Çarpma ve Bölme İşlemleri (Soldan sağa doğru yapılır) $ \times, \div $
  4. Toplama ve Çıkarma İşlemleri (Soldan sağa doğru yapılır) $ +, - $
• Örnek: $(-7) \cdot (-9) - 3 \cdot (-7)$
  Önce çarpmalar yapılır:
  $(-7) \cdot (-9) = +63$
  $3 \cdot (-7) = -21$
  Sonra çıkarma işlemi yapılır:
  $(+63) - (-21) = (+63) + (+21) = +84$

💡 İpucu: İşlem önceliğini hatırlamak için "Pa-Üç-Ça-Böl-Top-Çıkar" gibi bir tekerleme kullanabilirsin. Unutma, çarpma ve bölme kendi aralarında, toplama ve çıkarma da kendi aralarında soldan sağa doğru yapılır. 🚶‍♂️➡️

Tam Sayı Problemleri 🧩

• Tam sayılarla ilgili problemler genellikle günlük hayattan sıcaklık değişimi, borç-alacak, yükseklik-derinlik, puan hesaplama gibi durumları içerir.
• Problemleri çözerken şu adımları izlemek faydalıdır:
  • Anlama: Problemi dikkatlice oku ve ne istendiğini anla. Verilen bilgileri ve bilinmeyenleri belirle.
  • Planlama: Hangi işlemleri (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) yapman gerektiğini belirle. Gerekirse bir denklem kur.
  • Çözme: Planına göre işlemleri adım adım yap. İşaret kurallarına ve işlem önceliğine dikkat et.
  • Kontrol Etme: Bulduğun sonucun mantıklı olup olmadığını kontrol et.
• Örnek: Bir soğutucu odayı saatte $3^\circ C$ soğutuyor. Başlangıçta $12^\circ C$ olan bir odanın sıcaklığı kaç saat sonra $-6^\circ C$ olur?
  • Sıcaklık değişimi: $12 - (-6) = 12 + 6 = 18^\circ C$ düşmesi gerekiyor.
  • Her saat $3^\circ C$ düştüğüne göre, $18 \div 3 = 6$ saat sürer.

💡 İpucu: Problemleri çözerken sayı doğrusunu veya küçük modelleri zihninde canlandırmak, özellikle ilk başta, çok yardımcı olabilir. 🗺️

Bu ders notu, "Tam Sayılarla İşlemler" ünitesindeki tüm temel konuları kapsamaktadır. Sınav öncesi bu konuları tekrar etmen ve bol bol soru çözmen, başarını artıracaktır. Başarılar dilerim! ✨